Упражнение 507 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 147

Обозначим числитель дроби \(x\), а знаменатель — \(y\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} \dfrac{x^2}{y-1}=2,  /\times(y-1)\\[8pt] \dfrac{x-1}{y+1}=\dfrac{1}{4} /\times4(y+1)\end{cases}\) 

ОДЗ: \(y\ne1\),  \(y \ne-1\)

\(\begin{cases} x^2=2(y-1), \\ 4(x-1)=y+1\end{cases}\) 

\(\begin{cases} x^2=2y-2, \\ 4x-4=y+1\end{cases}\) 

\(\begin{cases} x^2=2(4x-5)-2, \\ y = 4x-5\end{cases}\) 

\(x^2=2(4x-5)-2\)

\(x^2=8x-10-2\)

\(x^2=8x-12\)

\(x^2-8x+12=0\)

\(D=(-8)^2-4\cdot1\cdot12=\)

\(=64-48=16 > 0\) - два корня.

\(x_1=\dfrac{8+4}{2\cdot1}=\dfrac{12}{2}=6\).

\(x_2=\dfrac{8-4}{2}=\dfrac{4}{2}=2\).

Если \(x = 6\), то

\(y = 4\cdot6-5 =24 - 5 = 19\).

Если \(x=2\), то

\(y=4\cdot2-5 = 8 - 5=3\).

Ответ: \(\dfrac{2}{3}\) или \(\dfrac{6}{19}\).

Пояснения:

Так как речь идёт об обыкновенной дроби, удобно ввести обозначения: \(x\) — числитель, \(y\) — знаменатель. Это позволяет строго записать условия задачи в виде уравнений.

Первое условие переводится в уравнение \(\dfrac{x^2}{y-1}=2\), а второе — в уравнение \(\dfrac{x-1}{y+1}=\dfrac{1}{4}\). Из этих уравнений составляем систему, которую решаем способом подстановки, учитывая то, что знаменатели уравнений должны быть отличны от нуля (ОДЗ).

Каждое дробное уравнение приводится к целому виду умножением на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Из второго уравнения удобно выразить \(y\) через \(x\), так как получается линейное выражение. После подстановки в первое уравнение получаем квадратное уравнение относительно \(x\).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Для каждого значения \(x\), находим соответствующее значение \(y\).

Обе найденные дроби удовлетворяют исходным условиям, поэтому возможны два ответа: \(\dfrac{2}{3}\) и \(\dfrac{6}{19}\).