Вернуться к содержанию учебника
Бассейн наполняется через первую трубу на 5 ч быстрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить, если открыть сначала одну первую трубу на 5 ч, а затем одну вторую на 7,5 ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?
Вспомните:
Пусть \(x\) ч — время наполнения бассейна первой трубой (\(x > 0\)), \(y\) ч — время наполнения бассейна второй трубой (\(y > 0\)). По условию \(y=x+5\). Производительность первой трубы равна \(\dfrac{1}{x}\), второй — \(\dfrac{1}{y}\).
По условию сначала 5 часов работает первая труба, затем 7,5 часов работает вторая труба, и бассейн заполняется полностью:
\(\dfrac{5}{x}+\dfrac{7{,}5}{y}=1\)
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} y=x+5,\\ \dfrac{5}{x}+\dfrac{7{,}5}{y}=1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=x+5,\\ \dfrac{5}{x}+\dfrac{7{,}5}{x+5}=1 \end{cases}\)
\(\dfrac{5}{x}+\dfrac{7{,}5}{x+5}=1\) \(/\times x(x+5)\)
ОДЗ: \(x \ne 0\) и \(x \ne -5\).
\(5(x+5) + 7,5x = x(x+5)\)
\(5x + 25 + 7,5x = x^2 + 5x\)
\(12,5x + 25 = x^2 + 5x\)
\(x^2 + 5x - 12,5x - 25 = 0\).
\(x^2 -7,5x - 25 = 0\) \(/\times 2\)
\(2x^2 - 15x - 50 = 0\)
\(D = (-15)^2 - 4\cdot2\cdot(-50) =\)
\( = 225 + 400 = 625 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{625} = 25\).
\(x_1 = \frac{15 + 25}{2\cdot2} = \frac{40}{4} = 10\).
\(x_2 = \frac{15 - 25}{2\cdot2} = \frac{-10}{4} = -2,5\) - не удовлетворяет условию.
Если \(x = 10\), то
\(y = 10 + 5 = 15\)
Производительность обеих труб:
\(\frac{1}{10} ^{\color{blue}{\backslash3}} + \frac{1}{15} ^{\color{blue}{\backslash2}} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac16 \)
Ответ: при совместной работе обеих труб бассейн наполнится за 6 часов.
Пояснения:
В задаче введены две переменные. Каждая труба имеет свою скорость наполнения бассейна, которая равна обратной величине времени наполнения.
Первое уравнение \(y=x+5\) выражает условие, что первая труба наполняет бассейн на 5 часов быстрее второй.
Второе уравнение описывает реальный процесс наполнения: за 5 часов первая труба заполняет \(\dfrac{5}{x}\) части бассейна, а за 7,5 часов вторая труба — \(\dfrac{7{,}5}{y}\) части бассейна. Сумма этих частей равна 1.
Из этих двух уравнений составляем систему и решаем ее методом подстановки. В первом уравнении выражена переменная \(y\) через переменную \(x\), подставляем во второе уравнение и после преобразований получаем квадратное уравнение относительно \(x\).
Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\)
решаем через дискриминант
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
Отрицательный корень исключаем, так как время не может быть отрицательным. Для положительного значения \(x\) находим соответствующее значение \(y\).
Найдя время наполнения бассейна каждой трубой, через производительности труб находим время наполнения бассейна при совместной работе обеих труб.
Вернуться к содержанию учебника