Упражнение 509 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 147

Пусть стороны прямоугольника равны \(x\) см и \(y\) см.

По теореме Пифагора:

\(x^2+y^2=15^2\).

Периметр исходного прямоугольника:

\(2(x+y)\)

Новые стороны:

\(x-6\) и \(y-8\).

Новый периметр:

\(2((x-6)+(y-8))=\)

\(=2(x+y-14)\)

По условию периметр уменьшился в 3 раза:

\(3\cdot2(x+y-14)=2(x+y)\)

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} 3\cdot2(x+y-14)=2(x+y),  /:2 \\ x^2+y^2=15^2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3(x+y-14)=x+y, \\ x^2+y^2=225 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3x+3y-42=x+y,\\ x^2+y^2=225 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3x-x=-3y+42+y,\\ x^2+y^2=225 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x=42-2y, / : 2 \\ x^2+y^2=225 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=21-y, \\ (21 - y)^2+y^2=225 \end{cases}\)

\((21 - y)^2+y^2=225\)

\(441 - 42y + y^2 + y^2 - 225 = 0\)

\(2y^2 - 42y + 216 = 0\) \(/ :2\)

\(y^2 - 21y + 108 = 0\)

\(D = (-21)^2 - 4\cdot108 =\)

\( = 441 - 432 = 9 > 0\) - два корня.

\(\sqrt 9 = 3\).

\(y_1 = \frac{21 + 3}{2\cdot1} =\frac{24}{2} = 12\).

\(y_2 = \frac{21 - 3}{2\cdot1} =\frac{18}{2} = 9\).

Если \(y = 12\), то

\(x = 21 - 12= 9\).

Если \(y = 9\), то

\(x = 21 - 9= 12\).

Ответ: стороны прямоугольника равны \(9\) см и \(12\) см.

Пояснения:

В задаче используются два основных свойства прямоугольника.

Первое — теорема Пифагора. Диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами \(x\) и \(y\), поэтому выполняется равенство:

\[x^2+y^2=d^2,\]

где \(d\) - диагональ прямоугольника.

Второе — формула периметра прямоугольника:

\[P=2(x+y).\]

После уменьшения сторон на 6 см и 8 см новый периметр выражается как \(2(x+y-14)\). Условие «периметр уменьшился в 3 раза» означает, что исходный периметр в три раза больше нового.

Из двух уравнений составляем систему уравнений, которую решаем методом подстановки. Из первого уравнения выражаем переменную \(x\), подставляем во второе уравнение и после преобразований получаем квадратное уравнение относительно \(y\).

Квадратное уравнение

\(ay^2 + by + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Для каждого значения \(y\) находим соответствующее значение \(x\). Получаем, что стороны прямоугольника равны \(9\) см и \(12\) см.