Вернуться к содержанию учебника
Чтобы наполнить бассейн, сначала открыли одну трубу и через 2 ч, не закрывая её, открыли вторую. Через 4 ч совместной работы труб бассейн был наполнен. Одна вторая труба могла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем одна первая. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу?
Вспомните:
Пусть \(x\) ч — время наполнения бассейна первой трубой (\(x > 0\)), \(y\) ч — время наполнения бассейна второй трубой (\(y > 0\)).
По условию: \(x = 1,5y\).
Производительность первой трубы равна \(\dfrac{1}{x}\), а второй — \(\dfrac{1}{y}\).
По условию сначала 2 ч работает только первая труба, затем 4 ч работают обе трубы:
\(\dfrac{2}{x}+4\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1\)
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} x = 1,5y,\\ \dfrac{2}{x}+4\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 1,5y,\\ \dfrac{2}{x}+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}=1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 1,5y,\\ \dfrac{6}{x}+\dfrac{4}{y}=1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 1,5y,\\ \dfrac{6}{1,5y}+\dfrac{4}{y}=1 \end{cases}\)
\(\dfrac{6}{1,5y}+\dfrac{4}{y}=1\) \(/\times1,5y\)
\(6 + 4\cdot1,5 = 1,5y\)
\(6 + 6 = 1,5y\)
\(12 = 1,5y\)
\(y = \frac{12}{1,5}\)
\(y = \frac{120}{15}\)
\(y = 8\)
\(x = 1,5 \cdot 8 = 12\).
Ответ: первая труба — за 12 ч, вторая труба — за 8 ч.
Пояснения:
Вводим две переменные \(x\) ч и \(y\) ч — время заполнения бассейна каждой трубой по отдельности. Тогда \(\dfrac{1}{x}\) и \(\dfrac{1}{y}\) — части бассейна, заполняемые за 1 час.
Условие «вторая труба в 1,5 раза быстрее» означает, что при большей скорости время меньше в 1,5 раза: \(x = 1,5y\).
Далее важно учесть порядок работы. Первые 2 часа заполняет только первая труба: это \(\dfrac{2}{x}\) бассейна. Затем 4 часа работают обе, значит за 1 час они вместе заполняют \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\), а за 4 часа — \(4\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\). Сумма заполненных частей равна 1 (весь бассейн).
Из двух уравнений составляем систему, которую решаем методом подстановки. В первом уравнении переменная \(x\) выражена через переменную \(y\), подставляем во второе уравнение и после преобразований получаем линейное уравнение относительно \(y\). Находим \(y\) и соответствующее значение \(x\), тем самым определяя время работы наполнения бассейна через каждую трубу.
Вернуться к содержанию учебника