Вернуться к содержанию учебника
Из двух городов, расстояние между которыми равно 270 км, одновременно навстречу друг другу выходят два поезда и встречаются через 3 ч. На весь путь один из поездов тратит на 1 ч 21 мин больше, чем другой. Найдите скорость каждого поезда.
Вспомните:
Пусть \(x\) км/ч — скорость первого поезда (\(x > 0\)), \(y\) км/ч — скорость второго поезда (\(y > 0\)). По условию задачи поезда встретились через 3 часа, значит за это время они вместе прошли 270 км:
\(3(x+y)=270\) \(/ : 3\)
\(x + y = 90\)
Время, за которое каждый поезд проходит весь путь 270 км:
\(\dfrac{270}{x}\) ч и \(\dfrac{270}{y}\) ч.
По условию разность этих времен равна
\(1\) ч \(21\) мин = \(1\frac{21}{60}\) ч = \(1\frac{7}{20}\) ч =\(\frac{27}{20}\) ч, тогда:
\(\dfrac{270}{x}-\dfrac{270}{y}=\dfrac{27}{20}\)
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} x+y=90,\\[6pt] \dfrac{270}{x}-\dfrac{270}{y}=\dfrac{27}{20} \end{cases}\)
\(\begin{cases} x=90 - y,\\[6pt] \dfrac{270}{90 - y}-\dfrac{270}{y}=\dfrac{27}{20} \end{cases}\)
\(\dfrac{270}{90 - y}-\dfrac{270}{y}=\dfrac{27}{20}\) \(/ : 27\)
\(\dfrac{10}{90 - y}-\dfrac{10}{y}=\dfrac{1}{20}\) \(/\times20y(90-y)\)
ОДЗ: \(y \ne 0\) и \(y \ne 90\)
\(10\cdot20y - 10\cdot20(90-y) = y(90 - y)\)
\(200y - 18000 + 200y = 90y - y^2\)
\(400y - 18000 - 90y + y^2 = 0\)
\(y^2 + 310y - 18000 = 0\)
\(D=310^2-4\cdot(-18000)\cdot1=\)
\(=96100+72000=168100 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{168100}=410\).
\(y_1=\dfrac{-310+410}{2\cdot1}= \dfrac{100}{2}=50\).
\(y_2=\dfrac{-310-410}{2\cdot1} = \dfrac{-720}{2}= -360\) - не удовлетворяет условию.
Если \(y=50\), то
\(x=90-50=40\)
Ответ: скорости поездов равны \(40\) км/ч и \(50\) км/ч.
Пояснения:
В задаче вводятся две переменные \(x\) и \(y\), так как требуется найти скорости двух поездов. При движении навстречу друг другу их скорости складываются, поэтому за 3 часа они проходят расстояние \(3(x+y)\), равное 270 км.
Второе условие связано со временем прохождения всего пути каждым поездом по отдельности. Время выражается формулой \(t=\dfrac{S}{v}\). Разность времен равна \(\dfrac{27}{20}\) часа.
Из двух уравнений составляем систему и решаем ее методом подстановки. Из первого уравнения выражаем переменную \(x\) и подставляем во второе уравнение. Выполнив преобразование получаем квадратное уравнение относительно \(y\).
Квадратное уравнение
\(ay^2 + by + c = 0\)
решаем через дискриминант
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
Отрицательный корень исключаем, так как скорость не может быть отрицательной. Для положительного значения \(y\) находим соответствующее значение \(x\).
Таким образом, скорости поездов равны \(40\) км/ч и \(50\) км/ч.
Вернуться к содержанию учебника