Вернуться к содержанию учебника
Если числитель обыкновенной дроби увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная \(\dfrac{3}{4}\). Если же числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная \(\dfrac{1}{2}\). Найдите эту дробь.
Вспомните:
Обозначим числитель дроби \(x\), а знаменатель — \(y\).
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} \dfrac{x+7}{y^2}=\dfrac{3}{4}, /\times4y^2\\ \dfrac{x}{y+6}=\dfrac{1}{2} /\times2(y+6)\end{cases}\)
ОДЗ: \(y \ne 0\) и \(y \ne 6\).
\(\begin{cases} 4(x+7) = 3y^2, \\ 2x =y+6 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 4x+28 = 3(2x-6)^2, \\ y= 2x-6 \end{cases}\)
\(4x + 28 = 3(2x-6)^2\)
\(4x + 28 = 3(4x^2 - 24x + 36)\)
\(4x + 28 = 12x^2 - 72x + 108\)
\(12x^2 - 72x + 108 - 4x - 28 = 0\)
\(12x^2 - 76x + 80 = 0\) \(/ : 4\)
\(3x^2 - 19x + 20 = 0\)
\(D = (-19)^2 - 4\cdot3\cdot20 =\)
\( = 361 - 240 = 121 > 0 \) - два корня.
\(\sqrt {121} = 11\).
\(x_1 = \frac{19 + 11}{2\cdot3} = \frac{30}{6} = 5\).
\(x_2 = \frac{19 - 11}{2\cdot3} = \frac{8}{6} = \frac43 = 1\frac13\) - не удовлетворяет условию.
Если \(x = 5\), то
\(y= 2\cdot5-6 = 10 - 6 = 4\).
Ответ: \(\dfrac{5}{4}\).
Пояснения:
Так как в задаче говорится об обыкновенной дроби, удобно обозначить числитель через \(x\), а знаменатель через \(y\). Это позволяет перевести текст условия в систему уравнений.
Первое условие «увеличить числитель на 7 и возвести знаменатель в квадрат» записывается в виде дроби \(\dfrac{x+7}{y^2}=\dfrac{3}{4}\).
Второе условие «знаменатель увеличить на 6» приводит к дроби \(\dfrac{x}{y+6}=\dfrac{1}{2}\).
Из этих уравнений составляем систему, которую решаем способом подстановки, учитывая то, что знаменатели уравнений должны быть отличны от нуля (ОДЗ).
Каждое дробное уравнение приводится к целому виду умножением на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Из второго уравнения удобно выразить \(y\) через \(x\), так как получается линейное выражение. После подстановки в первое уравнение получаем квадратное уравнение относительно \(x\).
Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\)
решаем через дискриминант
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
Учитывая то, что числитель и знаменатель обыкновенной дроби могут быть только целыми числами, один из корней исключаем.
В результате получаем дробь \(\dfrac{5}{4}\), которая удовлетворяет всем условиям задачи.
Вернуться к содержанию учебника