Вернуться к содержанию учебника
Из пунктов \(M\) и \(N\) выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Один из них приехал в пункт \(N\) через 1 ч 15 мин после встречи, а другой — в пункт \(M\) через 48 мин после встречи. Расстояние между пунктами \(M\) и \(N\) равно 90 км. Найдите скорости автомобилей.
Вспомните:
Пусть \(x\) км/ч — скорость автомобиля, выехавшего из \(M\) (\(x > 0\)), \(y\) км/ч — скорость автомобиля, выехавшего из \(N\) (\(y > 0\)).
После встречи автомобиль из \(M\) доезжает до \(N\) за
\(1\text{ ч }15\text{ мин}=1+\dfrac{15}{60}=\dfrac{5}{4}\) и проезжает за это время \(\frac54x\) км.
После встречи автомобиль из \(N\) доезжает до \(M\) за
\(48\text{ мин}=\dfrac{48}{60}=\dfrac{4}{5}\) и проезжает за это время \(\frac45y\) км.
Расстояние между \(M\) и \(N\) равно \(90\) км, тогда:
\(\frac54x + \frac45y = 90\)
Скорость сближения автомобилей равна \((x + y)\) км/ч. До встречи автомобили проехали \(90\) км, значит, время в пути каждого автомобиля до встречи \(\frac{90}{x+y}\) ч.
До встречи первый автомобиль проехал \(\frac{90}{x+y}\cdot x\) км, а после встречи \(\frac54x\) км, тогда:
\(\frac{90}{x+y}\cdot x + \frac54x = 90\)
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} \dfrac54x + \dfrac45y = 90,\\[6pt] \dfrac{90}{x+y}\cdot x + \dfrac54x = 90 \end{cases}\)
1) \(\dfrac54x + \dfrac45y = 90\) \(/\times20\)
\(25x + 16y = 1800\)
\(16y = 1800 - 25x\)
\(y = \frac{1800-25x}{16}\)
2) \(\dfrac{90}{x ^{\color{blue}{\backslash16}} +\frac{1800-25x}{16}}\cdot x + \dfrac54x = 90\)
\(\dfrac{90x}{\frac{16x+1800-25x}{16}} + \dfrac54x = 90\)
\(\dfrac{90x}{\frac{1800-9x}{16}} + \dfrac54x = 90\)
\(\dfrac{^{\color{blue}{10}}\cancel{90}x\cdot16}{\cancel9(200-x)} + \dfrac54x = 90\)
\(\dfrac{10x\cdot16}{200-x} + \dfrac54x = 90\) \(/ : 5\)
\(\dfrac{2x\cdot16}{200-x} + \dfrac x4 = 18\)
\(\dfrac{32x}{200-x} + \dfrac x4 = 18\) \(/\times4(200-x)\)
\(32x\cdot4+x(200-x) = 18\cdot4(200 - x)\)
\(128x + 200x - x^2 =14400 - 72x\)
\(328x - x^2 - 14400 + 72x = 0\)
\(-x^2 + 400x -14400 = 0\) \(/\times (-1)\)
\(x^2 - 400x +14400 = 0\)
\(D = (-400)^2 -4 \cdot1\cdot14400 = \)
\(=160000 - 57600 = 102400 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{102400} = 320\).
\(x_1 = \frac{400 + 320}{2\cdot1}=\frac{720}{2} = 360\).
\(x_2 = \frac{400 - 320}{2\cdot1}=\frac{80}{2} = 40\).
Если \(x = 360\), то
\(y = \frac{1800-25\cdot360}{16}=\)
\(=\frac{1800-9000}{16}=\frac{-7200}{16}=-450\) - не удовлетворяет условию.
Если \(x = 40\), то
\(y = \frac{1800-25\cdot40}{16}=\)
\(=\frac{1800-1000}{16}=\frac{800}{16}=50\)
Ответ: \(x=40\) км/ч, \(y=50\) км/ч.
Пояснения:
Вводим обозначения для скоростей автомобилей. Составляем уравнения связывающие расстояния, учитывая то, что \(s = vt\). Из уравнений составляем систему, которую решаем способом подстановки. Из первого уравнения системы выражаем переменную \(y\) и подставляем во второе уравнение. Выполнив преобразования, получаем квадратное уравнение относительно \(x\).
Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\)
решаем через дискриминант
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
Для каждого значения \(x\) находим соответствующее значение \(y\), но в одном случае \(y\) получается отрицательным, чего не может быть, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, условию задачи удовлетворяет только одно решение системы.
Вернуться к содержанию учебника