Вернуться к содержанию учебника
Решите систему уравнений:
а) \(\begin{cases} x^2+y^2+x+y=18,\\ x^2-y^2+x-y=6; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} x^2y^2+xy=72,\\ x+y=6; \end{cases}\)
в) \(\begin{cases} (x+y)^2-2(x+y)=15,\\ x+xy+y=11; \end{cases}\)
г) \(\begin{cases} (x+y)^2-4(x+y)=45,\\ (x-y)^2-2(x-y)=3. \end{cases}\)
Вспомните:
а) \(\begin{cases} x^2+y^2+x+y=18,\\ x^2-y^2+x-y=6 \end{cases}\) \((+)\)
\((x^2+y^2+x+y)+(x^2-y^2+x-y)=18+6\)
\(x^2+\cancel{y^2}+x+\cancel y+x^2-\cancel{y^2}+x-\cancel y=24\)
\(2x^2 + 2x = 24\)
\(2x^2 + 2x - 24 = 0\) \(/ : 2\)
\(x^2 + x - 12 = 0\)
\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-12) = \)
\(=1 + 48 = 49 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{49} = 7\).
\(x_1 = \frac{-1 + 7}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).
\(x_2 = \frac{-1 - 7}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\).
1) Если \(x = 3\), то
\(3^2 + y^2 + 3 + y = 18\)
\(9 + y^2 + 3 + y - 18 = 0\)
\(y^2 + y - 6 = 0\)
\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-6) =\)
\( = 1 + 24 = 25 > 0 \) - два корня.
\(\sqrt{25} = 5\).
\(y_1 = \frac{-1 + 5}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).
\(y_2 = \frac{-1 - 5}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3\).
2) Если \(x =- 4\), то
\((-4)^2 + y^2 + (-4) + y = 18\)
\(16 + y^2 - 4 + y - 18 = 0\)
\(y^2 + y - 6 = 0\)
\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-6) =\)
\( = 1 + 24 = 25 > 0 \) - два корня.
\(\sqrt{9} = 5\).
\(y_1 = \frac{-1 + 5}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).
\(y_2 = \frac{-1 - 5}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3\).
Ответ: \((-4,2),\ (3,2),\ (-4,-3),\ (3,-3)\)
б) \(\begin{cases} x^2y^2+xy=72,\\ x+y=6 \end{cases}\)
\(x^2y^2+xy=72\)
Пусть \(t=xy\).
\(t^2+t=72\)
\(t^2+t-72=0\)
\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-72) =\)
\(=1 + 288 = 289 > 0\) - два корня.
\(\sqrt {289} = 17\).
\(t_1 = \frac{-1 + 17}{2\cdot1} = \frac{16}{2} = 8\).
\(t_2 = \frac{-1 - 17}{2\cdot1} = \frac{-18}{2} = -9\).
1) Если \(t = 8\), то \(xy=8\).
\(\begin{cases} xy=8,\\ x+y=6 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x(6 - x)=8,\\ y=6 - x \end{cases}\)
\(x(6 - x)=8\)
\(6x - x^2 - 8 = 0\) \(/\times (-1)\)
\(x^2 - 6x + 8 = 0\)
\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot8 =\)
\(=36 - 32 = 4 > 0\) - два корня.
\(\sqrt 4 = 2\).
\(x_1 = \frac{6 + 2}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).
\(x_2 = \frac{6 - 2}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).
Если \(x = 4\), то
\(y=6 - 4 = 2\).
Если \(x = 2\), то
\(y=6 -2 = 4\).
2) Если \(t = -9\), то \(xy=-9\).
\(\begin{cases} xy=-9,\\ x+y=6 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x(6 - x)=-9,\\ y=6 - x \end{cases}\)
\(x(6 - x)=-9\)
\(6x - x^2 + 9 = 0\) \(/\times (-1)\)
\(x^2 - 6x - 9 = 0\)
\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot(-9) = \)
\(= 36 + 36 = 72 > 0\) - два корня.
\(\sqrt {72} = \sqrt{36\cdot2} = 6\sqrt2\).
\(x_{1,2} = \frac{6 \pm 6\sqrt2}{2\cdot1} = \frac{6 \pm 6\sqrt2}{2}=\)
\(=3 \pm 3\sqrt2\).
Если \(x=3 + 3\sqrt2\), то
\(y = 6 - (3 + 3\sqrt2) = \)
\(=6 - 3 - 3\sqrt2 = 3 - 3\sqrt2\).
Если \(x=3 - 3\sqrt2\), то
\(y = 6 - (3 - 3\sqrt2) = \)
\(=6 - 3 - 3\sqrt2 = 3 + 3\sqrt2\).
Ответ: \((4;\,2), (2;\, 4)\),
\(\left(3+3\sqrt{2};\,3-3\sqrt{2}\right),\)
\(\left(3-3\sqrt{2};\,3+3\sqrt{2}\right)\).
в) \(\begin{cases} (x+y)^2-2(x+y)=15,\\ x+xy+y=11; \end{cases}\)
Пусть \(t=x+y\).
\(t^2-2t=15\)
\(t^2-2t-15=0\)
\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-15) = \)
\(=4 + 60 = 64 > 0\) - два корня.
\(\sqrt {64} = 8\).
\(t_1 = \frac{2 + 8}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).
\(t_2 = \frac{2 - 8}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3\).
1) Если \(t = 5\), то \(x + y = 5\).
\(\begin{cases} x+y=5,\\ x+xy+y=11 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x+y=5,\\ xy+5=11 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x+y=5,\\ xy=11-5 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x+y=5,\\ xy=6 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=5-x,\\ x(5 - x)=6 \end{cases}\)
\(x(5 - x)=6\)
\(5x - x^2 - 6 = 0\) \(/\times(-1)\)
\(x^2 - 5x + 6 = 0\)
\(D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot(-6) = \)
\( = 25 + 24 = 49 > 0\) - два корня.
\(x_1 = \frac{5 + 7}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).
\(x_2 = \frac{5 - 7}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).
Если \(x = 6\), то
\(y = 5 - 6 = -1\).
Если \(x = -1\), то
\(y = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6\).
2) Если \(t = -3\), то \(x + y = -3\).
\(\begin{cases} x+y=-3,\\ x+xy+y=11 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x+y=-3,\\ xy-3=11 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x+y=-3,\\ xy=11+3 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x+y=-3,\\ xy=14 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=-3-x,\\ x(-3 - x)=14 \end{cases}\)
\(x(-3 - x)=14\)
\(-3x - x^2 - 14 = 0\) \(/\times(-1)\)
\(x^2 + 3x + 14 = 0\)
\(D=3^2-4\cdot1\cdot14=\)
\(= 9-56=-47 < 0\) - решений нет.
Ответ: \((2;\,3),\ (3;\,2)\).
г) \(\begin{cases} (x+y)^2-4(x+y)=45,\\ (x-y)^2-2(x-y)=3. \end{cases}\)
Пусть \(a=x+y,\; b=x-y\).
\(\begin{cases} a^2-4a=45,\\ b^2-2b=3. \end{cases}\)
1) \(a^2-4a=45\)
\(a^2-4a-45=0\)
\(D = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-45) = \)
\(=16 + 180 = 196 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{196} = 14\).
\(a_1 = \frac{4 + 14}{2\cdot1} = \frac{18}{2} = 9\).
\(a_2 = \frac{4 - 14}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5\).
\(s=9,\; s=-5\)
2) \(b^2-2b=3\)
\(b^2-2b-3=0\)
\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = \)
\(=4 + 12 = 16 > 0\) - два корня.
\(\sqrt {16} = 4\).
\(b_1 = \frac{2 + 4}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).
\(b_2 = \frac{2 - 4}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).
Если \(a=9,\; b=3\), то
\(\begin{cases} x+y=9,\\ x-y=3 \end{cases}\) \((+)\)
\(2x = 12\)
\(x = \frac{12}{2}\)
\(x = 6\)
\(6 + y = 9\)
\(y = 9 - 6\)
\(y = 3\)
\((6;\, 3)\).
Если \(a=9,\; b=-1\), то
\(\begin{cases} x+y=9,\\ x-y=-1 \end{cases}\) \((+)\)
\(2x = 8\)
\(x = \frac{8}{2}\)
\(x = 4\)
\(4 + y = 9\)
\(y = 9 - 4\)
\(y = 5\)
\((4;\,5)\).
Если \(a=-5,\; b=3\), то
\(\begin{cases} x+y=-5,\\ x-y=3 \end{cases}\) \((+)\)
\(2x = -2\)
\(x = \frac{-2}{2}\)
\(x = -1\)
\(-1 + y = -5\)
\(y = -5 + 1\)
\(y = -4\)
\((-1; -4)\)
Если \(a=-5,\; b=-1\), то
\(\begin{cases} x+y=-5,\\ x-y=-1 \end{cases}\) \((+)\)
\(2x = -6\)
\(x = \frac{-6}{2}\)
\(x = -3\)
\(-3 + y = -5\)
\(y = -5 +3\)
\(y = -2\)
\((-3; -2)\)
Ответ: \((6,3),\ (4,5),\ (-1,-4),\ (-3,-2)\).
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1) Метод сложения/вычитания уравнений: если в двух уравнениях есть одинаковые выражения, их можно вычесть или сложить, чтобы исключить часть неизвестных.
2) Замена переменной: если встречается выражение \(x+y\), \(x-y\) или \(xy\), удобно обозначить его новой буквой, чтобы упростить уравнения.
а) При сложении второго уравнения из первого сокращаются \(y^2\) и \(y\), остаётся выражение только с \(x\), поэтому сначала находим \(x\). Затем подставляем каждое значение \(x\) в первое (можно и во второе) уравнение и находим \(y\). Поскольку для каждого \(x\) получается два значения \(y\), всего выходит четыре решения.
б) В первом уравнении встречаются \(x^2y^2\) и \(xy\), поэтому делаем замену \(t=xy\) и получаем квадратное уравнение \(t^2+t-72=0\). Затем для каждого найденного \(t\) используем второе уравнение \(x+y=6\) и составляем две системы, решив которые методом подстановки находим четыре решения исходной системы.
в) Здесь обозначаем \(t=x+y\), потому что первое уравнение записано через \(x+y\). Находим возможные \(t\). Второе уравнение переписываем как \(x+y+xy=11\), т.е. \(t+xy=11\), и находим \(xy\). Далее составляем две системы, решив которые методом подстановки находим два решения исходной системы.
г) Вводим \(a=x+y\) и \(b=x-y\), потому что каждое уравнение зависит только от одного из этих выражений. Решаем два независимых квадратных уравнения и получаем значения \(a\) и \(b\). Затем, комбинируя полученные значения \(a\) и \(b\), составляем четыре системы уравнений, решив которые способом сложения, находим четыре решения исходной системы.
Вернуться к содержанию учебника