Вернуться к содержанию учебника
Найдите все решения системы уравнений:
а) \(\begin{cases} x-y=4,\\ (x-1)(y+1)=2xy+3; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} y-x=1,\\ (2y+1)(x-1)=xy+1; \end{cases}\)
в) \(\begin{cases} 2x-y=5,\\ (x+1)(y+4)=2xy-1; \end{cases}\)
г) \(\begin{cases} x+y=1,\\ (x-1)(y+5)=y^2-12. \end{cases}\)
Вспомните:
а) \(\begin{cases} x-y=4,\\ (x-1)(y+1)=2xy+3 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x=y+4,\\ (y+4-1)(y+1)=2(y+4)y+3 \end{cases}\)
\((y+4-1)(y+1)=2(y+4)y+3\)
\((y+3)(y+1)=2y^2+8y+3\)
\(y^2+y + 3y+3=2y^2+8y+3\)
\(y^2+4y+3-2y^2-8y-3=0\)
\(-y^2-4y=0\)
\(-y(y+4)=0\)
\(y=0\) или \(y+ 4 = 0\)
\(y =-4\)
Если \(y = 0\), то
\(x=0+4=4\).
Если \(y = -4\),
\(x=-4+4=0\).
Ответ: \((4;\,0),\; (0;\,-4)\).
б) \(\begin{cases} y-x=1,\\ (2y+1)(x-1)=xy+1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=x+1,\\ (2y+1)(x-1)=xy+1 \end{cases}\)
\((2(x+1)+1)(x-1)=x(x+1)+1\)
\((2x+2+1)(x-1)=x^2+x+1\)
\((2x+3)(x-1)=x^2+x+1\)
\(2x^2-2x + 3x-3-x^2-x-1=0\)
\(x^2-4=0\)
\(x^2 = 4\)
\(x=\pm\sqrt4\)
\(x = \pm2\)
Если \(x = 2\), то
\(y=2+1=3\).
Если \(x = -2\), то
\(y=-2+1=-1\)
Ответ: \((2;\,3),\; (-2;\,-1)\)
в) \(\begin{cases} 2x-y=5,\\ (x+1)(y+4)=2xy-1; \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=2x-5,\\ (x+1)(2x-5+4)=2x(2x-5)-1; \end{cases}\)
\((x+1)(2x-5+4)=2x(2x-5)-1\)
\((x+1)(2x-1)=4x^2-10x-1\)
\(2x^2-x+2x-1-4x^2+10x+1 = 0\)
\(-2x^2+11x = 0\)
\(-x(2x-11)=0\)
\(x=0\) или \(2x - 11 = 0\)
\(2x = 11\)
\(x=\dfrac{11}{2}\)
\(x = 5,5\)
Если \(x = 0\), то
\(y=2\cdot0-5=-5\).
Если \(x = 5,5\), то
\(y=2\cdot5,5-5=11-5=6\).
Ответ: \((0;\,-5),\; (5,5;\,6)\)
г) \(\begin{cases} x+y=1,\\ (x-1)(y+5)=y^2-12 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=1-x,\\ (x-1)(1-x+5)=(1-x)^2-12 \end{cases}\)
\((x-1)(1-x+5)=(1-x)^2-12\)
\((x-1)(6-x)=x^2-2x+1-12\)
\(6x-x^2 - 6 +x=x^2-2x-11\)
\(6x-x^2 - 6 +x-x^2+2x+11=0\)
\(-2x^2+9x+5 = 0\) \(/\times(-1)\)
\(D=(-9)^2-4\cdot2\cdot(-5)=\)
\(=81+40=121 > 0 \) - два корня.
\(x_1=\dfrac{9+11}{2\cdot2}=\dfrac{20}{4}=5\).
\(x_2=\dfrac{9-11}{2\cdot2}=-\dfrac24=-0,5\).
Если \(x = 5\), то
\(y=1-5=-4\).
Если \(x = -0,5\), то
\(y=1-(-0,5)=1,5\)
Ответ: \((5;\,-4),\; (-0,5;\,1,5)\).
Пояснения:
Правила и приёмы:
1) Метод подстановки: из линейного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют во второе уравнение системы, получая уравнение с одной переменной.
2) Раскрытие скобок и приведение подобных:
\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).
3) Квадрат разности двух выражений:
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\)
4) Решение квадратного уравнения по дискриминанту:
\(ax^2+bx+c=0,\)
\(D=b^2-4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.\)
5) Свойство степени:
\((ab)^n = a^nb^n\).
а) Из уравнения \(x-y=4\) удобно выразить \(x=y+4\). Тогда во втором уравнении вся система сводится к одному уравнению только с \(y\):
\(y^2+4y=0\), из которого разложив на множители имеем \(-y(y+4)=0\) и получаем \(y = 0\) или \(y = - 4\). Для каждого найденного \(y\) вычисляем
\(x=y+4\) и получаем два решения системы.
б) Из \(y-x=1\) получаем \(y=x+1\). Подстановка во второе уравнение даёт квадратное уравнение по \(x\):
\(x^2-4=0\). У него два корня \(x=2\) и \(x=-2\), а затем по формуле
\(y=x+1\) находятся соответствующие значения \(y\). Поэтому решений два.
в) Из уравнения \(2x-y=5\) выражаем \(y=2x-5\). Подставляем во второе уравнение, раскрываем скобки и переносим всё в одну сторону. Получается \(x(2x-11)=0\), то есть \(x=0\) или \(x=5,5\). Каждому \(x\) соответствует единственное
\(y=2x-5\), поэтому получаем два решения системы.
г) Из \(x+y=1\) выражаем \(y=1-x\). Подстановка во второе уравнение приводит к квадратному уравнению \(2x^2-9x-5=0\). Дискриминант \(D=121\), значит два различных корня \(x=5\) и \(x=-0,5\).
По формуле \(y=1-x\) получаем
\(y=-4\) и \(y=1,5\).
Следовательно, система имеет два решения.
Вернуться к содержанию учебника