Упражнение 491 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 145

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 5,\\ x - y = m \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + (x-m)^2 = 5,\\ y = x-m \end{cases}\)

\(x^2 + (x - m)^2 = 5\)

\(x^2 + x^2 - 2mx + m^2 - 5=0\)

\(2x^2 - 2mx + (m^2 - 5) = 0\) - квадратное уравнение относительно \(x\).

\(D = (-2m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m^2 - 5)=\)

\(= 4m^2 - 8m^2 + 40 =\)

\( = - 4m^2 + 40.\)

а) Уравнение имеет одно решение, если \(D = 0\).

\(- 4m^2 + 40 = 0\)

\(4m^2 = 40\)

\(m^2 = \frac{40}{4}\)

\(m^2 = 10\)

\(m = \pm\sqrt{10}\)

б) Уравнение имеет два решения, если \(D > 0\).

\(- 4m^2 + 40 > 0\)

\(y = -4m^2 + 40\) - парабола, ветви направлены вниз.

\(-4m^2 + 40 = 0\)

\(-4m^2 = -40\)   \(/ : (-4)\)

\(m^2 = \frac{40}{4}\)

\(m^2 = 10\)

\(m = \pm\sqrt10\)

\(m\in(-\sqrt10; \sqrt10)\)

Ответ: а) при \(m = \pm\sqrt{10}\);

б) при \(m\in(-\sqrt10; \sqrt10)\).

Пояснения:

Первое уравнение системы задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом:

\[r = \sqrt{5}\]

Второе уравнение задаёт прямую:

\[x - y = m\]

Число решений системы равно числу точек пересечения прямой и окружности.

После подстановки уравнения прямой в уравнение окружности получаем квадратное уравнение относительно \(x\).

Если дискриминант равен нулю, прямая касается окружности — система имеет одно решение.

Если дискриминант положителен, прямая пересекает окружность в двух точках — система имеет два решения.