Вернуться к содержанию учебника
Найдите целые решения уравнения:
а) \(x^2-y^2=5\);
б) \(x^2-y^2=8\).
Вспомните:
а) \( x^2-y^2=5\)
\((x-y)(x+y)=5 \)
\( 5=1\cdot 5;\)
\(5 =(-1)\cdot(-5). \)
1) \( \begin{cases} x - y = 1,\\ x + y = 5 \end{cases} \) \((+)\)
\(2x = 6\)
\(x = \frac{6}{2}\)
\(x = 3\)
\(3 + y = 5\)
\(y = 5-3\)
\(y = 2\)
2) \( \begin{cases} x - y = 5,\\ x + y = 1 \end{cases} \) \((+)\)
\(2x = 6\)
\(x = \frac{6}{2}\)
\(x = 3\)
\(3 + y = 1\)
\(y = 1-3\)
\(y = -2\)
3) \( \begin{cases} x - y = -1,\\ x + y = -5 \end{cases} \) \((+)\)
\(2x = -6\)
\(x = -\frac{6}{2}\)
\(x = -3\)
\(-3+y=-5\)
\(y = -5 + 3\)
\(y = -2\)
4) \( \begin{cases} x - y = -5,\\ x + y = -1 \end{cases} \) \((+)\)
\(2x = -6\)
\(x = -\frac{6}{2}\)
\(x = -3\)
\(-3 + y = -1\)
\(y = -1 + 3\)
\(y = 2\)
Ответ: \((3;2),\;(3;-2),\)
\((-3;-2),\;(-3;2)\).
б) \( x^2-y^2=8\)
\((x-y)(x+y)=8 \)
\( 8=1\cdot 8;\;\,2\cdot 4;\)
\(8=(-1)\cdot(-8);\;\,(-2)\cdot(-4). \)
1) \( \begin{cases} x - y = 1,\\ x + y = 8 \end{cases} \) \((+)\)
\(2x = 9\)
\(x = \frac92\)
\(x = 4,5\) - не является целым.
2) \( \begin{cases} x - y = 8,\\ x + y = 1 \end{cases} \) \((+)\)
\(2x = 9\)
\(x = \frac92\)
\(x = 4,5\) - не является целым.
3) \( \begin{cases} x - y = 2,\\ x + y = 4 \end{cases} \) \((+)\)
\(2x = 6\)
\(x = \frac62\)
\(x = 3\)
\(3 + y = 4\)
\(y = 4 - 3\)
\(y = 1\)
4) \( \begin{cases} x - y = 4,\\ x + y = 2 \end{cases} \) \((+)\)
\(2x = 6\)
\(x = \frac62\)
\(x = 3\)
\(3 + y = 2\)
\(y = 2 - 3\)
\(y = -1\)
5) \( \begin{cases} x - y = -1,\\ x + y = -8 \end{cases} \) \((+)\)
\(2x = -9\)
\(x = -\frac92\)
\(x = -4,5\) - не является целым.
6) \( \begin{cases} x - y = -8,\\ x + y = -1 \end{cases} \) \((+)\)
\(2x = -9\)
\(x = -\frac92\)
\(x = -4,5\) - не является целым.
7) \( \begin{cases} x - y = -2,\\ x + y = -4 \end{cases} \) \((+)\)
\(2x = -6\)
\(x = -\frac62\)
\(x = -3\)
\(-3 + y = - 4\)
\(y = -4 + 3 \)
\(y = -1\)
8) \( \begin{cases} x - y = -4,\\ x + y = -2 \end{cases} \) \((+)\)
\(2x = -6\)
\(x = -\frac62\)
\(x = -3\)
\(-3 + y = -2\)
\(y = -2 + 3 = 0\)
\(y=1\)
Ответ: \((3;1),\;(3;-1),\)
\((-3;-1),\;(-3;1)\).
Пояснения:
Правила и приёмы:
1. Разность квадратов раскладывается по формуле:
\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]
2. Для поиска целых решений нужно рассматривать только такие разложения числа на множители, при которых система:
\[ \begin{cases} x-y=m,\\ x+y=n \end{cases} \]
даёт целые значения \(x\) и \(y\), то есть \(m\) и \(n\) должны быть одной чётности.
3. При решении систем используем метод сложения.
Пояснение к заданиям:
В каждом пункте уравнение сведено к произведению двух целых множителей. Перебором всех возможных разложений числа 5 и 8 на множители найдены только те случаи, которые дают целые значения \(x\) и \(y\). Именно они и образуют множество целых решений.
Вернуться к содержанию учебника