Упражнение 492 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 145

а) \(\begin{cases} x+3y=-1,\\ x^2+2xy+y=3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=-1-3y,\\ (-1-3y)^2+2(-1-3y)y+y=3 \end{cases}\)

\((-1-3y)^2+2(-1-3y)y+y=3\)

\((1 +3y)^2-2y-6y^2+y=3\)

\(1+6y+9y^2-2y-6y^2+y=3\)

\(3y^2+5y+1-3=0\)

\(3y^2+5y-2=0\)

\(D=5^2-4\cdot3\cdot(-2)=\)

\(=25+24=49> 0\) - два корня.

\(\sqrt{49} = 7\).

\(y_1=\dfrac{-5+7}{2\cdot3}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3},\)

\(y_2=\dfrac{-5-7}{6}=\dfrac{-12}{6}=-2\)

Если \(y =\dfrac{1}{3},\), то

\(x=-1-3\cdot\dfrac{1}{3}=-1-1=-2.\)

Если \(y = -2\), то

\(x=-1-3\cdot(-2) = -1 + 6=5\)

Ответ: \(\left(-2;\;\dfrac{1}{3}\right);\; (5;\,-2).\)

б) \(\begin{cases} 2x-y=1,\\ xy-y^2+3x=-1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=2x-1,\\ x(2x-1)-(2x - 1)^2+3x=-1 \end{cases}\)

\(x(2x-1)-(2x-1)^2+3x=-1\)

\(2x^2-x-(4x^2-4x+1)+3x=-1\)

\(-2x^2+6x-1+1=0\)

\(-2x^2+6x=0\)

\(-2x(x-3)=0\)

\(x=0\)  или  \( x-3=0\)

                    \(x=3\)

Если \(x = 0\), то

\(y=2\cdot0-1=-1\).

Если \(x = 3\), то

\(y=2\cdot3-1=5\)

Ответ: \((0; \,-1),\; (3; \,5)\).

в) \(\begin{cases} 2x+y-11=0,\\ 2x+5y-y^2-6=0; \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=11 - 2x,\\ 2x+5(11 - 2x)-(11-2x)^2-6=0; \end{cases}\)

\(2x+5(11-2x)-(11-2x)^2-6=0\)

\(2x+55-10x-(121-44x+4x^2)-6=0\)

\(2x+55-10x-121+44x-4x^2-6=0\)

\(-4x^2+36x-72=0\)   \( / : 4\)

\(x^2-9x+18=0\)

\(D=(-9)^2-4\cdot1\cdot18=\)

\(=81-72=9 > 0 \) - два корня.

\(\sqrt 9 = 3\).

\(x_1=\dfrac{9+3}{2\cdot1}= \dfrac{12}{2}=6,\)

\(x_2=\dfrac{9-3}{2\cdot1}=\dfrac{6}{2} =3\).

Если \(x = 6\), то

\(y=11-2\cdot6 = 11 - 12=-1\).

Если \(x = 3\), то

\(y=11-2\cdot3=11 - 6=5\)

Ответ: \((6;\,-1),\; (3;\,5)\).

г) \(\begin{cases} 2x^2-3y^2-5x-2y=26,\\ x-y=4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x^2-3(x-4)^2-5x-2(x-4)=26,\\ y=x-4 \end{cases}\)

\(2x^2-3(x-4)^2-5x-2(x-4)=26\)

\(2x^2-3(x^2-8x+16)-5x-2x+8=26\)

\(2x^2-3x^2+24x-48-7x+8-26=0\)

\(x^2-17x+66=0\)

\(D=17^2-4\cdot1\cdot66=\)

\(=289-264=25 > 0\) - два корня.

\(\sqrt {25} = 5\).

\(x_1=\dfrac{17+5}{2\cdot1}=\dfrac{22}{2}=11,\)

\(x_2=\dfrac{17-5}{2\cdot1}=\dfrac{12}{2}=6\).

Если \(x = 11\), то

\(y=11-4=7\).

Если \(y = 6\), то

\(y=6-4=2\).

Ответ: \((11;\,7),\; (6;\,2)\).

д) \(\begin{cases} 4x^2-9y^2+x-40y=19,\\ 2x-3y=5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 4x^2-9y^2+x-40y=19,\\ 2x=3y+5  / : 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 4\cdot\left(\dfrac{5+3y}{2}\right)^2-9y^2+\dfrac{5+3y}{2}-40y=19,\\[6pt] x=\dfrac{3y + 5}{2} \end{cases}\)

\(4\cdot\left(\dfrac{5+3y}{2}\right)^2-9y^2+\dfrac{5+3y}{2}-40y=19\)

\(\cancel4\cdot\dfrac{(5+3y)^2}{\cancel4}-9y^2+\dfrac{5+3y}{2}-40y=19\)

\((5+3y)^2-9y^2+\dfrac{5+3y}{2}-40y=19\)  \(/\times2\)

\(2(25+30y+9y^2)-18y^2+5+3y-80y=38\)

\(50 + 60y + \cancel{18y^2} - \cancel{18y^2} + 5 + 3y - 80y = 38\)

\(55-17y=38\)

\(-127y = 38 - 55\)

\(-17y = -17\)

\(y=1\)

\(x=\dfrac{5+3\cdot1}{2}=\dfrac82=4\).

Ответ: \((4;\,1)\).

е) \(\begin{cases} 3x^2+y^2+8x+13y=5,\\ x-y+2=0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3x^2+(x + 2)^2+8x+13(x+2)=5,\\ y=x+2 \end{cases}\)

\(3x^2+(x+2)^2+8x+13(x+2)=5\)

\(3x^2+x^2+4x+4+8x+13x+26-5=0\)

\(4x^2+25x+25=0\)

\(D=25^2-4\cdot4\cdot25=\)

\(=625-400=225 > 0\) - два корня.

\(\sqrt {225} = 15\).

\(x_1=\dfrac{-25+15}{8}=-\dfrac{10}{8} = \)

\(=-\dfrac{5}{4} = -1,25,\)

\(x_2=\dfrac{-25-15}{8}=-\dfrac{40}{8}=-5\)

Если \(x = -1,25\), то

\(y=-1,25+2=0,75\).

Если \(x = -5\),то

\(y=-5+2=-3\).

Ответ: \((-1,25;\, 0,75),\; (-5;\,-3)\)

---

Пояснения:

Использованные приёмы и правила:

1) Метод подстановки: из одного уравнения выражают переменную и подставляют во второе, получая уравнение с одной переменной.

2) Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:

\[(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2.\]

3) Решение квадратного уравнения по дискриминанту:

\(ax^2+bx+c=0,\)

\(D=b^2-4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.\)

4) Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

а) Из первого уравнения удобно выразить \(x\) через \(y\): \(x=-1-3y\). Подстановка во второе даёт квадратное уравнение относительно \(y\). После раскрытия скобок получаем \(3y^2+5y-2=0\). Так как \(D=49\), уравнение имеет два корня, значит система имеет два решения. Затем каждое найденное \(y\) подставляется в \(x=-1-3y\).

б) Из линейного уравнения \(2x-y=1\) получаем \(y=2x-1\). Подставляем во второе уравнение и приводим подобные. Получается \(-2x^2+6x=0\), которое решаем разложением на множители \(-2x(x-3)=0\). Отсюда два значения \(x\), а затем два значения \(y\).

в) Из уравнения \(2x+y-11=0\) получаем \(y=11-2x\). Подстановка во второе уравнение приводит к квадратному уравнению по \(x\):

\(x^2-9x+18=0\). Дискриминант равен \(9\), поэтому есть два корня, и для каждого находится соответствующее \(y=11-2x\).

г) Из \(x-y=4\) получаем \(y=x-4\). Подстановка в первое уравнение приводит к квадратному уравнению \(x^2-17x+66=0\). Так как \(D=25\), решений по \(x\) два, следовательно, и система имеет два решения после подстановки в \(y=x-4\).

д) Из уравнения \(2x-3y=5\) получаем \(x=\dfrac{5+3y}{2}\). Подстановка в первое уравнение упрощается, потому что выражения \(4\left(\dfrac{5+3y}{2}\right)^2\) и \(-9y^2\) дают сокращение \(+9y^2-9y^2\). В результате остаётся линейное уравнение \(55-17y=38\), поэтому \(y\) находится единственным образом, а затем единственным образом находится \(x\).

е) Из уравнения \(x-y+2=0\) получаем \(y=x+2\). Подстановка в \(3x^2+y^2+8x+13y=5\) даёт квадратное уравнение

\(4x^2+25x+25=0\).

Так как \(D=225\), есть два значения \(x\), и каждому соответствует своё

\(y=x+2\).