Упражнение 519 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 148

а) \(y \ge |x|\)

\(y=|x|\)

\(y=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ -x, & x<0 \end{cases}\)

1) \(y=x\) при \(x\ge 0\)

2) \(y=-x\) при \(x < 0\)

\(M(3; 1)\) - не является решением неравенства.

\(1 \ge |3|\)

\(1 \ge 3\) - неверно.

б) \(y \le |x-2|\)

\(y=|x-2|\)

\(y=\begin{cases} x-2, & x\ge 2,\\ 2-x, & x<2 \end{cases}\)

1) \(y=x-2\) при \(x\ge 2\)

2) \(y=2-x\) при \(x < 2\)

\(M(1; 3)\) - не является решением неравенства.

\(3 \le |1-2|\)

\(3 \le |-1|\)

\(3 \le 1\) - неверно.

Пояснения:

Сначала напомним свойства модуля:

\[|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ -x, & x<0. \end{cases}\]

Построение границы: вместо знака \(\ge\) или \(\le\) берут равенство и строят прямую.

а) График функции \(y=|x|\) имеет вид «галочки» (буквы V), вершина которой находится в начале координат \((0,0)\). График состоит из двух прямых: \(y=x\) и \(y=-x\).

б) График \(y=|x-2|\) получается сдвигом графика \(y=|x|\) вправо на 2 единицы. Его вершина находится в точке \((2,0)\). Он также состоит из двух прямых: \(y=x-2\) и \(y=2-x\).

Построение границы: если неравенство нестрогое (\(\ge\) или \(\le\)), то линия, соответствующая графику уравнения, входит в решение (рисуем график сплошной линией).

Определение нужной части плоскости: выбирают точку и проверяют, удовлетворяет ли она неравенству. Если да — закрашивают часть плоскости, где лежит эта точка, если нет — противоположную.