Упражнение 521 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 148

\(|x|+|y|\le 1\)

1) При \(x\ge 0,\ y\ge 0\):

\(|x|=x,\ |y|=y\)

\(x+y\le 1\)

\(y \le -x + 1\)

\(y = -x + 1\)

2) При \(x < 0,\ y \ge 0\):

\(|x|=-x,\ |y|=y\)

\(-x+y\le 1\)

\(y \le x + 1\)

\(y = x + 1\)

3) При \(x < 0,\ y < 0\):

\(|x|=-x,\ |y|=-y\)

\(-x-y\le 1\)

\(-y \le x + 1\)   \(/\times(-1)\)

\(y \ge -x - 1\)

\(y = -x - 1\)

4) При \(x\ge 0,\ y < 0\):

\(|x|=x,\ |y|=-y\)

\(x-y\le 1\)

\(-y \le -x + 1\)   \(/\times(-1)\)

\(y \ge x - 1\)

\(y = x - 1\)

\(M(1; 1)\) - не является решением неравенства.

\(|1|+|1|\le 1\)

\(1 + 1 \le 1\)

\(2 \le 1\) - неверно.

Пояснения:

Используем определение модуля:

\[|t|=\begin{cases} t,& t\ge 0,\\ -t,& t<0. \end{cases}\]

Неравенство \(|x|+|y|\le 1\) содержит модули, поэтому знак \(x\) и знак \(y\) влияют на вид выражения. Чтобы понять геометрический смысл, рассматриваем четыре случая — по четвертям координатной плоскости.

В I четверти (\(x\ge0, y\ge0\)) модули раскрываются как \(x\) и \(y\), получается \(x+y\le1\). Это полуплоскость, лежащая ниже прямой \(x+y=1\) в I четверти. Граница — отрезок между точками \((0,1)\) и \((1,0)\).

Во II четверти (\(x<0, y\ge0\)) получаем \(-x+y\le1\). Граница \(-x+y=1\) даёт отрезок между \((0,1)\) и \((-1,0)\).

В III четверти (\(x<0, y<0\)) получаем \(-x-y\le1\). Граница \(-x-y=1\) даёт отрезок между \((0,-1)\) и \((-1,0)\).

В IV четверти (\(x\ge0, y<0\)) получаем \(x-y\le1\). Граница \(x-y=1\) даёт отрезок между \((1,0)\) и \((0,-1)\).

Объединяя решения во всех четырёх четвертях, получаем фигуру, ограниченную четырьмя такими отрезками. Её вершины находятся на осях координат в точках \((1,0)\), \((0,1)\), \((-1,0)\), \((0,-1)\), как на рисунке 66.

Так как знак \(\le\) нестрогий, граница входит в множество решений, и закрашена вся внутренняя область ромба.

Определение нужной части плоскости: выбирают точку и проверяют, удовлетворяет ли она неравенству. Если да — закрашивают часть плоскости, где лежит эта точка, если нет — противоположную.