Вернуться к содержанию учебника
Найдите первые шесть членов последовательности, заданной формулой \(n\)-го члена:
а) \(x_n=2n-1\);
б) \(x_n=n^2+1\);
в) \(x_n=\dfrac{n}{n+1}\);
г) \(x_n=(-1)^{n+1}\cdot2\);
д) \(x_n=2^{\,n-3}\);
е) \(x_n=0{,}5\cdot4^n\).
Вспомните:
а) \(x_n=2n-1\)
\(x_1=2\cdot1-1=1\)
\(x_2=2\cdot2-1=3\)
\(x_3=2\cdot3-1=5\)
\(x_4=2\cdot4-1=7\)
\(x_5=2\cdot5-1=9\)
\(x_6=2\cdot6-1=11\)
б) \(x_n=n^2+1\)
\(x_1=1^2+1=2\)
\(x_2=2^2+1=5\)
\(x_3=3^2+1=10\)
\(x_4=4^2+1=17\)
\(x_5=5^2+1=26\)
\(x_6=6^2+1=37\)
в) \(x_n=\dfrac{n}{n+1}\)
\(x_1=\dfrac{1}{1+1} =\dfrac{1}{2} \)
\(x_2=\dfrac{2}{2 + 1}=\dfrac{2}{3}\)
\(x_3=\dfrac{3}{3 + 1}=\dfrac{3}{4}\)
\(x_4=\dfrac{4}{4 + 1}=\dfrac{4}{5}\)
\(x_5=\dfrac{5}{5+1}=\dfrac{5}{6}\)
\(x_6=\dfrac{6}{6+1}=\dfrac{6}{7}\)
г) \(x_n=(-1)^{n+1}\cdot2\)
\(x_1=(-1)^{1+1}\cdot2=(-1)^2\cdot2=2\)
\(x_2=(-1)^{2+1}\cdot2=(-1)^3\cdot2=-2\)
\(x_3=(-1)^{3+1}\cdot2=(-1)^4\cdot2=2\)
\(x_4=(-1)^{4+1}\cdot2=(-1)^5\cdot2=-2\)
\(x_5=(-1)^{5+1}\cdot2=(-1)^6\cdot2=2\)
\(x_6=(-1)^{6+1}\cdot2=(-1)^7\cdot2=-2\)
д) \(x_n=2^{\,n-3}\)
\(x_1=2^{1-3}=2^{-2}=\dfrac{1}{4}\)
\(x_2=2^{2-3}=2^{-1}=\dfrac{1}{2}\)
\(x_3=2^{3-3}=2^0=1\)
\(x_4=2^{4-3}=2^1=2\)
\(x_5=2^{5-3}=2^2=4\)
\(x_6=2^{6-3}=2^3=8\)
е) \(x_n=0{,}5\cdot4^n\).
\(x_1=0{,}5\cdot4^1=0{,}5\cdot4=2\)
\(x_2=0{,}5\cdot4^2=0{,}5\cdot16=8\)
\(x_3=0{,}5\cdot4^3=0{,}5\cdot64=32\)
\(x_4=0{,}5\cdot4^4=0{,}5\cdot256=128\)
\(x_5=0{,}5\cdot4^5=0{,}5\cdot1024=512\)
\(x_6=0{,}5\cdot4^6=0{,}5\cdot4096=2048\)
Пояснения:
Последовательность задана формулой \(x_n\), поэтому для нахождения первых членов нужно последовательно подставить значения \(n=1,2,3,4,5,6\) в формулу.
а) Формула \(x_n=2n-1\) задаёт последовательность нечётных чисел.
б) Формула \(x_n=n^2+1\) получается из квадратов натуральных чисел, увеличенных на 1.
в) Формула \(x_n=\dfrac{n}{n+1}\) даёт дроби, у которых числитель на 1 меньше знаменателя.
г) В формуле \(x_n=(-1)^{n+1}\cdot2\) степень числа \(-1\) определяет знак члена, поэтому значения чередуются: \(2,-2,2,-2,\ldots\).
д) Формула \(x_n=2^{n-3}\) — это степенная последовательность, начинающаяся с отрицательных показателей.
е) Формула \(x_n=0{,}5\cdot4^n\) задаёт быстро возрастающую степенную последовательность, так как при каждом увеличении \(n\) значение умножается на 4.
Вернуться к содержанию учебника