Упражнение 811 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 205

а) \(x^2-3x+200=\)

\(=(x^2-3x+1,5^2)+200-1,5^2=\)

\(=(x-1,5)^2+200-2,25=\)

\(=(x-1,5)^2+197,75>0\).

б) \(-x^2+22x-125=\)

\(=-(x^2-22x+125)=\)

\(=-(x^2-22x+121)-4=\)

\(=-(x-11)^2-4<0\).

в) \(x^2-16x+64=\)

\(=(x^2-16x+64)=\)

\(=(x-8)^2\ge 0\).

г) \(10x-x^2-25=\)

\(=-(x^2-10x+25)=\)

\(=-(x-5)^2\le 0\).

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1) Квадрат любого числа неотрицателен:

\[(a^2\ge 0)\ \text{для любого}\ a.\]

2) Разность квадратов двух выражений:

\[a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.\]

3) Если к неотрицательному выражению прибавить положительное число, получится положительное выражение:

\[a\ge 0,\ c>0 \Rightarrow a+c>0.\]

4) Если взять минус от неотрицательного выражения, получится неположительное выражение:

\[a\ge 0 \Rightarrow -a\le 0.\]

а) Выделим полный квадрат, добавив и вычтя \(1,5^2\):

\[x^2-3x+200=(x-1,5)^2+197,75.\]

Квадрат \((x-1,5)^2\ge 0\), а число \(197,75>0\), значит сумма строго больше нуля при любом \(x\):

\[(x-1,5)^2+197,75>0.\]

Следовательно, трёхчлен всегда положителен.

б) Вынесем минус и выделим полный квадрат:

\[-x^2+22x-125=-(x^2-22x+125).\]

Теперь внутри скобок выделим квадрат \((x-11)^2\), для этого используем \(121=11^2\):

\[x^2-22x+125=(x^2-22x+121)+4=(x-11)^2+4.\]

Тогда:

\[-x^2+22x-125=-((x-11)^2+4)=-(x-11)^2-4.\]

Так как \((x-11)^2\ge 0\), то \(-(x-11)^2\le 0\), и ещё дополнительно вычитается \(4\). Поэтому выражение строго отрицательно при любом \(x\):

\[-(x-11)^2-4<0.\]

в) Это полный квадрат:

\[x^2-16x+64=(x-8)^2.\]

Квадрат любого числа неотрицателен, значит:

\((x-8)^2\ge 0\) при любом \(x.\)

Следовательно, трёхчлен принимает неотрицательные значения.

г) Преобразуем выражение так, чтобы появился полный квадрат:

\[10x-x^2-25=-(x^2-10x+25)=-(x-5)^2.\]

Так как \((x-5)^2\ge 0\), то при умножении на \(-1\) получаем неположительное значение:

\(-(x-5)^2\le 0\) при любом \(x.\)

Значит, трёхчлен всегда неположителен.