Упражнение 814 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 205

д) \(\sqrt{12-5x}+\sqrt{2x-1}\);

е) \(\sqrt{x^2+4}+\sqrt{3x-17}\).

Решение:

а) \(12x-4\ge 0\)

\(12x\ge 4\)

\(x\ge \frac{4}{12}\)

\(x\ge \frac{1}{3}\)

б) \(3-0{,}6x\ge 0\)

\(0{,}6x\le 3\)

\(x\le \frac{3}{0{,}6}\)

\(x\le 5\)

в) \(15+2x-x^2\ge 0\)

\(-x^2+2x+15\ge 0\)

\(-(x^2-2x-15)\ge 0\)

\(x^2-2x-15\le 0\)

\((x-5)(x+3)\le 0\)

\(-3\le x\le 5\)

г) \(2x^2+x-6\ge 0\)

\((2x-3)(x+2)\ge 0\)

\(x\le -2\) или \(x\ge \frac{3}{2}\)

д) \(12-5x\ge 0\) и \(2x-1\ge 0\)

\(12\ge 5x\)

\(x\le \frac{12}{5}\)

\(2x\ge 1\)

\(x\ge \frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{2}\le x\le \frac{12}{5}\)

е) \(x^2+4\ge 0\) и \(3x-17\ge 0\)

\(x^2\ge 0 \Rightarrow x^2+4>0\)

\(3x\ge 17\)

\(x\ge \frac{17}{3}\)

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1) Квадратный корень \(\sqrt{A}\) определён (имеет смысл) только при \(A\ge 0\).

\[ \sqrt{A}\ \text{существует} \Longleftrightarrow A\ge 0. \]

2) Если выражение содержит сумму корней, то должны выполняться условия определённости для каждого корня отдельно, а затем берётся пересечение условий.

\[ \sqrt{A}+\sqrt{B}\ \text{имеет смысл} \Longleftrightarrow \begin{cases} A\ge 0,\\ B\ge 0. \end{cases} \]

3) Решение квадратных неравенств через разложение на множители и метод интервалов:

\[ (x-a)(x-b)\le 0 \Rightarrow a\le x\le b,\quad (x-a)(x-b)\ge 0 \Rightarrow x\le a \ \text{или}\ x\ge b \] (при \(a<b\)).

а)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ 12x-4\ge 0. \]

Переносим \(-4\) вправо и делим на положительное число \(12\), знак неравенства не меняется:

\[ 12x\ge 4 \Rightarrow x\ge \frac{4}{12}=\frac{1}{3}. \]

б)

Требуем:

\[ 3-0{,}6x\ge 0 \Rightarrow 0{,}6x\le 3. \]

Делим на \(0{,}6>0\), знак не меняется:

\[ x\le \frac{3}{0{,}6}=5. \]

в)

Требуем неотрицательность подкоренного выражения:

\[ 15+2x-x^2\ge 0. \]

Удобно перейти к квадратному неравенству с положительным старшим коэффициентом:

\[ -x^2+2x+15\ge 0 \Longleftrightarrow x^2-2x-15\le 0. \]

Разложим на множители:

\[ x^2-2x-15=(x-5)(x+3). \]

Произведение \((x-5)(x+3)\le 0\) выполняется между корнями \(-3\) и \(5\):

\[ -3\le x\le 5. \]

г)

Условие:

\[ 2x^2+x-6\ge 0. \]

Разложим на множители:

\[ 2x^2+x-6=(2x-3)(x+2). \]

Произведение \((2x-3)(x+2)\ge 0\) неотрицательно вне промежутка между корнями \(-2\) и \(\frac{3}{2}\):

\[ x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge \frac{3}{2}. \]

д)

Сумма корней определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны:

\[ \begin{cases} 12-5x\ge 0,\\ 2x-1\ge 0. \end{cases} \]

Решаем по отдельности:

\[ 12-5x\ge 0 \Rightarrow 12\ge 5x \Rightarrow x\le \frac{12}{5}, \]

\[ 2x-1\ge 0 \Rightarrow 2x\ge 1 \Rightarrow x\ge \frac{1}{2}. \]

Берём пересечение условий:

\[ \frac{1}{2}\le x\le \frac{12}{5}. \]

е)

Нужно:

\[ \begin{cases} x^2+4\ge 0,\\ 3x-17\ge 0. \end{cases} \]

Первое неравенство верно при любом \(x\), потому что \(x^2\ge 0\), значит \(x^2+4>0\).

Второе даёт ограничение:

\[ 3x-17\ge 0 \Rightarrow 3x\ge 17 \Rightarrow x\ge \frac{17}{3}. \]

Итак, область определения выражения: \(x\ge \frac{17}{3}\).