Упражнение 809 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 204

а) \(x^2+2x-15<0\)

\(y=x^2+2x-15\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2+2x-15=0\)

\(D = 2^2 - 4\cdot 1 \cdot (-15) =\)

\(=4+60=64 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D} = 8\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1} = \dfrac{-2+8}{2\cdot1} = \dfrac{6}{2} = 3.\)

\(x_{2} = \dfrac{-2-8}{2\cdot1} = \dfrac{-10}{2} = -5.\)

Ответ: \(x\in(-5; 3).\)

б) \(5x^2-11x+2\ge 0\)

\(y=5x^2-11x+2\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=5>0.\)

\(D=(-11)^2-4\cdot 5\cdot 2=\)

\(=121-40=81>0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D}=9\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{11+9}{10}=\dfrac{20}{10}=2.\)

\(x_2=\dfrac{11-9}{10}=\dfrac{2}{10}=0{,}2.\)

Ответ:  \(x\in(-\infty; 0,2] \cup[2; +\infty).\) 

в) \(10-3x^2\le 5x-2\)

\(10+2-3x^2-5x\le 0\)

\(12-5x-3x^2\le 0\)

\(-12+5x+3x^2\ge 0\)

\(3x^2+5x-12\ge 0\) 

\(y=3x^2+5x-12\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=3>0\)

\(D=5^2-4\cdot 3\cdot (-12)=\)

\(=25+144=169>0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D}=13\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{-5+13}{6}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}=1\frac{1}{3}.\)

\(x_2=\dfrac{-5-13}{6}=\dfrac{-18}{6}=-3.\)

Ответ:  \(x\in(-\infty; -3] \cup\bigg[1\frac{1}{3}; +\infty\bigg).\) 

г) \((2x+3)(2-x)>3\)

\(4x+6-2x^2-3x>3\)

\(-2x^2+x+6-3>0\)

\(-2x^2+x+3>0\)     \(\color{red}|\times(-1)\)

\(2x^2-x-3<0\)

\(y=2x^2-x-3\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=2>0.\)

\(D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot (-3)=\)

\(=1+24=25>0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D}=5\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{1+5}{2\cdot2}=\dfrac{6}{4}=1,5.\)

\(x_2=\dfrac{1-5}{2\cdot2}=\frac{-4}{4}=-1.\)

Ответ: \(x\in(-1; 1,5).\)

д) \(2x^2-0{,}5\le 0\)          \(\color{red}|:2\)

\(x^2-0{,}25\le 0\)

\((x-0,5)(x+0,5)\le 0\)

\((x-0,5)(x+0,5)= 0\)

\(x-0,5=0\) или \(x+0,5=0\)

\(x=0,5\)                \(x=-0,5\)

Ответ: \(x\in[-0,5; 0,5].\)

е) \(3x^2+3{,}6x>0\)

\(3x(x+1{,}2)>0\)

\(3x(x+1{,}2)=0\)

\(x=0\)    или  \(x+1{,}2=0\)

                       \(x=-1{,}2\)

Ответ: \(x\in(-\infty; -1,2) \cup(0; +\infty).\) 

ж) \((0{,}2-x)(0{,}2+x)<0\)

\((0{,}2-x)(0{,}2+x)=0\)

\(0{,}2-x=0\)   или  \(0{,}2+x=0\)

\(x=0,2\)                  \(x=-0,2\)

\(x<-0{,}2\) или \(x>0{,}2\)

Ответ: \(x\in(-\infty; -0,2) \cup(0,2; +\infty).\) 

з) \(x(3x-2{,}4)>0\)

\(x(3x-2{,}4)=0\)

\(x=0\) или \(3x-2{,}4=0\)

                  \(3x=2{,}4\)

                  \(x=0{,}8\)

Ответ: \(x\in(-\infty; 0) \cup(0,8; +\infty).\) 

и) \(x^2-0{,}5x-5<0\)

\(y=x^2-0{,}5x-5\)  - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2-0{,}5x-5=0\)

\(D=(-0{,}5)^2-4\cdot 1\cdot (-5)=\)

\(=0{,}25+20=20{,}25>0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D}=4{,}5\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{0{,}5+4{,}5}{2}=\dfrac{5}{2}=2{,}5\)

\(x_2=\dfrac{0{,}5-4{,}5}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\)

Ответ: \(x\in(-2; 2,5).\)

к) \(x^2-2x+12{,}5>0\)

\(y=x^2-2x+12{,}5\)- парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 12{,}5=\)

\(=4-50=-46\)

\(D<0\) - нулей нет.

Ответ: \(x\in(-\infty ; +\infty).\)

---

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c \ge 0\),

\(ax^2 + bx + c < 0\), \(ax^2 + bx + c \le 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)), выше оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \ge 0\)) или ниже оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \le 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В случае, когда коэффициент \(c = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + bx\), корни находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

В случае, когда коэффициент \(b = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + c\), корни которого: \(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).

---

1. Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

2. Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

3. Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

4. Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.