Упражнение 805 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 204

а) \( \begin{cases} 2x-3(x+1) < x+ 8, \\ 6x(x-1)-(2x+2)(3x-3) > 0  \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x-3x-3 < x+ 8, \\ 6x^2-6x-(6x^2 + 6x-6x-6) > 0  \end{cases} \)

\(\begin{cases}-x-x < 8+3,\\ -6x+6 > 0\end{cases}\)

\(\begin{cases}-x-x < 8+3,\\ -6x+6 > 0\end{cases}\)

\(\begin{cases}-x-x < 8+3,\\ -6x+6 > 0\end{cases}\)

\(\begin{cases}-x-x < 8+3,\\ -6x+6 > 0\end{cases}\)

\(\begin{cases}-2x < 11,    \color{red}{|:(-2)}\\ -6x > -6      \color{red}{|:(-6)}\end{cases}\)

\(\begin{cases}x > \frac{11}{-2},\\ x < \frac{-6}{-6}\end{cases}\)

\(\begin{cases}x > -5,5,\\ x < 1\end{cases}\)

Ответ: \((-5,5; 1).\)

б) \(\begin{cases}10(x-1)-5(x+1)>4x-11,\\ x^2-(x+2)(x-2)<3x\end{cases}\)

\(\begin{cases}10x-10-5x-5>4x-11,\\ x^2-(x^2-4)<3x\end{cases}\)

\(\begin{cases}5x-15>4x-11,\\ x^2-x^2+4<3x\end{cases}\)

\(\begin{cases}5x-4x>15-11,\\3x >4         \color{red}{|:3} \end{cases}\)

\(\begin{cases}x>4,\\x >\frac{4}{3} \end{cases}\)

\(\begin{cases}x>4,\\x >1\frac{1}{3} \end{cases}\)

Ответ: \((4; +\infty).\)

в) \(\begin{cases}7-3x-4(3-1{,}5x)<0,\\ -6(1+2{,}5x)-10x-4>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}7-3x-12+6x<0,\\ -6-15x-10x-4>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}3x-5<0,\\ -25x-10>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}3x<5,             \color{red}{|:3} \\ -25x>10     \color{red}{|:(-10)} \end{cases}\)

\(\begin{cases}x<\frac{5}{3},\\ x<-\frac{10}{25}\end{cases}\)

\(\begin{cases}x<1\frac{2}{3},\\ x<-\frac{2}{5}\end{cases}\)

Ответ: \(\bigg(-\infty; -\dfrac{2}{5} \bigg)\)

г) \(\begin{cases}2(1{,}5x-1)-(x+4)(x+4)\ge 0,\\ (-2-x)-0{,}75x\le 0\end{cases}\)

\(\begin{cases}3x-2-(x^2+8x+16)\ge 0,\\ -2+x-0{,}75x\le 0\end{cases}\)

\(\begin{cases}3x-2-x^2-8x-16\ge 0,\\ -2-0{,}25x\le 0\end{cases}\)

\(\begin{cases}-x^2-5x-18\ge 0,   \color{red}{|\times(-1)} \\ -0{,}25x\le 2                              \color{red}{|:(-0,25)} \end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2+5x+18\le 0, \\ x\ge -8\end{cases}\)

\(x^2+5x+18\le 0\)

\(y=x^2+5x+18\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0\)

\(D=5^2-4\cdot 1\cdot 18=\)

\(=25-72=-47 < 0\) - корней нет.

Неравенство \(x^2+5x+18\le 0\) не имеет решения.

Ответ: решений нет.

д) \(\begin{cases}x-\dfrac{4x-1}{3}<10,   \color{red}{|\times3} \\ 4x-1-\dfrac{x}{3}<10  \color{red}{|\times3} \end{cases}\)

\(\begin{cases}3x-(4x-1)<30,\\ 12x-3-x<30\end{cases}\)

\(\begin{cases}3x-4x+1 < 30,\\ 11x-3 < 30\end{cases}\)

\(\begin{cases}-x+1 < 30,\\ 11x < 30+3\end{cases}\)

\(\begin{cases}-x< 29,   \color{red}{|:(-1)} \\ 11x < 33    \color{red}{|:11} \end{cases}\)

\(\begin{cases}x>- 29,\\ x < 3 \end{cases}\)

Ответ: \((-29; 3).\)

е) \(\begin{cases}3y-\dfrac{2y+1}{2}>4-\dfrac{2-y}{3}-y,  \color{red}{|\times6} \\ \dfrac{5y-1}{3}-(y-1)>3y                           \color{red}{|\times3} \end{cases}\)

\(\begin{cases}6\left(3y-\dfrac{2y+1}{2}\right)>6\left(4-\dfrac{2-y}{3}-y\right),\\ 3\left(\dfrac{5y-1}{3}-y+1\right)>9y\end{cases}\)

\(\begin{cases}18y-3(2y+1)>24-2(2-y)-6y,\\ 5y-1-3y+3>9y\end{cases}\)

\(\begin{cases}18y-6y-3>24-4+2y-6y,\\ 2y+2>9y\end{cases}\)

\(\begin{cases}12y-3>20-4y,\\ 2y-9y>-2\end{cases}\)

\(\begin{cases}12y+4y>20+3,\\ -7y>-2                \color{red}{|:(-7)} \end{cases}\)

\(\begin{cases}16y>23,      \color{red}{|:16} \\ y < \frac{2}{7} \end{cases}\)

\(\begin{cases}y>\dfrac{23}{16}, \\ y < \frac{2}{7} \end{cases}\)

\(\begin{cases}y>1\dfrac{7}{16}, \\ y < \frac{2}{7} \end{cases}\)

Ответ: решений нет.

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Приведение дробей к общему знаменателю:

\(\dfrac{A}{m}\pm\dfrac{B}{n}=\dfrac{An\pm Bm}{mn}\).

Раскрытие скобок: 

\(k(x\pm y)=kx\pm ky\);

а) После раскрытия скобок в первом неравенстве получаем линейное \(-2x<11\), при делении на \(-2\) знак меняется и выходит \(x>-\dfrac{11}{2}\). Во втором неравенстве после раскрытия скобок сокращаются квадраты и остаётся \(-6(x-1)>0\), то есть \(x<1\). Пересечение: \(-\dfrac{11}{2}\)

б) Оба неравенства приводятся к линейным: \(x>4\) и \(x>\dfrac{4}{3}\). Пересечение — более строгое \(x>4\).

в) Первое даёт \(x<\dfrac{5}{3}\), второе после деления на \(-25\) (знак меняется) даёт \(x<-\dfrac{2}{5}\). Пересечение: \(x<-\dfrac{2}{5}\).

г) Первое неравенство превращается в \(x^2+5x+18\le 0\). Так как \(D<0\) и коэффициент при \(x^2\) положительный, выражение всегда положительно, значит решений нет, и вся система не имеет решений.

д) Оба неравенства линейные: \(x>-29\) и \(x<3\). Пересечение: \(-29\)

е) Первое неравенство после умножения на 6 даёт \(16y>23\), то есть \(y>\dfrac{23}{16}\). Второе даёт \(y<\dfrac{2}{7}\). Эти условия несовместимы, поэтому решений нет.