Упражнение 806 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 204

а) \(\begin{cases}(3x+2)^2 \ge (3x-1)(3x+1)-31,\\ (2x-3)(8x+5) < (4x-3)^2-14\end{cases}\)

\(\begin{cases}9x^2+12x+4 \ge 9x^2-1-31,\\ 16x^2-14x-15 < 16x^2-24x+9-14\end{cases}\)

\(\begin{cases}9x^2+12x+4 \ge 9x^2-32,\\ 16x^2-14x-15 < 16x^2-24x-5\end{cases}\)

\(\begin{cases}9x^2+12x-9x^2 \ge -32-4,\\ 16x^2-14x-16x^2+24x < -5+15\end{cases}\)

\(\begin{cases}12x\ge -36,   \color{red}{|:12}\\ 10x <10          \color{red}{|:10}\end{cases}\)

\(\begin{cases}x\ge -\frac{36}{12},\\ x <\frac{10}{10}\end{cases}\)

\(\begin{cases}x\ge -3,\\ x <1\end{cases}\)

\([-3; 1).\)

Ответ: \(-3,-2,-1,0.\)

б) \(\begin{cases}(5x-2)^2+36 > 5x(5x-3),\\ 3x(4x+2)+40 \le 4x(3x+7)-4\end{cases}\)

\(\begin{cases}25x^2-20x+4+36 > 25x^2-15x,\\ 12x^2+6x+40 \le 12x^2+28x-4\end{cases}\)

\(\begin{cases}25x^2-20x-25x^2+15x >-36-4,\\ 12x^2+6x-12x^2-28x \le -4-40\end{cases}\)

\(\begin{cases}-5x >-40,          \color{red}{|:(-5)}\\ -22x \le -44          \color{red}{|:10}\end{cases}\)

\(\begin{cases}x <\frac{-40}{-5},\\ -22x \ge \frac{-44}{-22}\end{cases}\)

\(\begin{cases}x <8,\\ -22x \ge 2\end{cases}\)

\([-3; 1).\)

Ответ:\(2,3,4,5,6,7.\)

Пояснения:

Правила и приёмы, которые использовались:

1) Раскрытие скобок:

Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Разность квадратов двух выражений:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

Умножение многочлена на многочлен:

\((u+v)(p+q)=up+uq+vp+vq\).

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Так как требуются целые решения, из найденного промежутка выбираются только значения \(x \in \mathbb{Z}\).

а) В первом неравенстве после раскрытия скобок получилось, что \(9x^2\) сокращается в обеих частях, остаётся линейное неравенство \(12x \ge -36\), то есть \(x \ge -3\).

Во втором неравенстве после раскрытия скобок снова сокращается \(16x^2\), остаётся линейное \(10x<10\), то есть \(x<1\). Пересечение даёт \(-3 \le x < 1\), откуда целые: \(-3,-2,-1,0\).

б) В первом неравенстве после раскрытия скобок сокращается \(25x^2\), остаётся \(40>5x\), то есть \(x<8\).

Во втором неравенстве сокращается \(12x^2\), остаётся \(44 \le 22x\), то есть \(x \ge 2\). Пересечение даёт \(2 \le x < 8\), откуда целые: \(2,3,4,5,6,7\).