Упражнение 810 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 205

а) \((2x+1)(x+4)-3x(x+2)<0\)

\(2x^2+8x+x+4- 3x^2-6x <0\)

\(-x^2+3x+4<0\)  \(\color{red}|\times(-1)\)

\(x^2-3x-4>0\) 

\(y=x^2-3x-4\)  - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2-3x-4=0\)

\(D = (-3)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-4) =\)

\(=9+16=25 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D} = 5\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{3+5}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4.\)

\(x_{2}=\frac{3-5}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1.\)

Ответ:  \(x\in(-\infty; -1) \cup(4; +\infty).\) 

б) \((3x-2)^2-4x(2x-3)>0\)

\(9x^2-12x+4-8x^2+12x>0\)

\(x^2+4>0\)

\(y=x^2+4\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2+4=0\)

\(x^2=-4\) - нулей нет.

Ответ: \(x\in(-\infty ; +\infty).\)

в) \((1-6x)(1+6x)+7x(5x-2)>14\)

\(1-36x^2+35x^2-14x>14\)

\(1-x^2-14x>14\)

\(-x^2-14x-13>0\)  \(\color{red}|\times(-1)\)

\(x^2+14x+13<0\)

\(y=x^2+14x+13\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2+14x+13=0\)

\(D = 14^2 - 4\cdot 1 \cdot 13 =\)

\(=196-52=144 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D} = 12\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{-14+12}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1.\)

\(x_{2}=\frac{-14-12}{2\cdot1}=\frac{-26}{2}=-13.\)

Ответ:  \(x\in(-13; -1).\)

г) \((5x+2)(x-1)-(2x+1)(2x-1)<27\)

\((5x^2-5x+2x-2)-(4x^2-1)<27\)

\(5x^2-3x-2-4x^2+1<27\)

\(x^2-3x-1<27\)

\(x^2-3x-28<0\)

\(y=x^2-3x-28\) -  парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2-3x-28=0\)

\(D = (-3)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-28) =\)

\(=9+112=121> 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D} = 11\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{3+11}{2\cdot1}=\frac{14}{2}=7.\)

\(x_{2}=\frac{3-11}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-4.\)

Ответ:  \(x\in(-4; 7).\)

д) \((2x-1)(1+2x)-x(x+4)<6\)

\(4x^2-1-x^2-4x<6\)

\(3x^2-4x-1<6\)

\(3x^2-4x-7<0\)

\(y=3x^2-4x-7\) -  парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=3>0.\)

\(3x^2-4x-7=0\)

\(D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot (-7)=\)

\(=16+84=100>0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D}=10\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{4+10}{2\cdot3}=\dfrac{14}{6}=\dfrac{7}{3}=2\frac{1}{3}\)

\(x_2=\dfrac{4-10}{2\cdot3}=-1\)

Ответ:  \(x\in\bigg(-1; 2\frac{1}{3}\bigg).\)

е) \((3x-1)x-(6-x)(x+6)<37\)

\(3x^2-x-(36-x^2)<37\)

\(3x^2-x-36+x^2<37\)

\(4x^2-x-36<37\)

\(4x^2-x-73<0\)

\(y=4x^2-x-73\) -  парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=4>0.\)

\(D=(-1)^2-4\cdot 4\cdot (-73)=\)

\(=1+1168=1169>0\) - 2 корня.

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{1+\sqrt{1169}}{8}\)

\(x_2=\dfrac{1-\sqrt{1169}}{8}\)

Ответ:  \(x\in\small{\bigg(\dfrac{1-\sqrt{1169}}{8}; \dfrac{1+\sqrt{1169}}{8}\bigg)}.\)

---

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c \ge 0\),

\(ax^2 + bx + c < 0\), \(ax^2 + bx + c \le 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)), выше оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \ge 0\)) или ниже оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \le 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В случае, когда коэффициент \(c = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + bx\), корни находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

В случае, когда коэффициент \(b = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + c\), корни которого: \(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).

При преобразовании выражений используем:

1) Раскрытие скобок по распределительному закону:

\((u+v)(p+q)=up+uq+vp+vq\).

2) Формулы сокращённого умножения:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\),

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b).\)