Вернуться к содержанию учебника
Найдите область определения каждого из выражений:
а) \(2x-5\), \(\dfrac{1}{2x-5}\) и \(\sqrt{2x-5}\);
б) \(2x^2+7x-4\), \(\dfrac{1}{2x^2+7x-4}\) и \(\sqrt{\dfrac{1}{2x^2+7x-4}}\);
в) \(x^2+1\), \(\sqrt{x^2+1}\) и \(\dfrac{1}{x^2+1}\).
Введите текст
а)
\(2x-5:\ x\in \mathbb{R}\)
\(\dfrac{1}{2x-5}:\ 2x-5\ne 0 \Rightarrow x\ne \dfrac{5}{2}\)
\(\sqrt{2x-5}:\ 2x-5\ge 0 \Rightarrow x\ge \dfrac{5}{2}\)
б)
\(2x^2+7x-4:\ x\in \mathbb{R}\)
\(\dfrac{1}{2x^2+7x-4}:\ 2x^2+7x-4\ne 0\)
\(2x^2+7x-4=0\)
\(D=7^2-4\cdot 2\cdot(-4)=49+32=81\)
\(x_{1,2}=\dfrac{-7\pm \sqrt{81}}{2\cdot 2}=\dfrac{-7\pm 9}{4}\)
\(x_1=\dfrac{-16}{4}=-4,\quad x_2=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x\ne -4,\ x\ne \dfrac{1}{2}\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{2x^2+7x-4}}:\ \dfrac{1}{2x^2+7x-4}\ge 0\)
\(\Rightarrow 2x^2+7x-4>0\)
\(2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4)\)
\((2x-1)(x+4)>0 \Rightarrow x<-4\ \text{или}\ x>\dfrac{1}{2}\)
в)
\(x^2+1:\ x\in \mathbb{R}\)
\(\sqrt{x^2+1}:\ x^2+1\ge 0 \Rightarrow x\in \mathbb{R}\)
\(\dfrac{1}{x^2+1}:\ x^2+1\ne 0 \Rightarrow x\in \mathbb{R}\)
Пояснения:
Правила и приёмы, которые используются:
1) Многочлен определён при любых \(x\in\mathbb{R}\).
2) Дробь \(\dfrac{1}{A}\) определена, когда \(A\ne 0\).
\[ \frac{1}{A}\ \text{имеет смысл} \Longleftrightarrow A\ne 0. \]
3) Корень \(\sqrt{A}\) определён, когда \(A\ge 0\).
\[ \sqrt{A}\ \text{имеет смысл} \Longleftrightarrow A\ge 0. \]
4) Если \(\sqrt{\dfrac{1}{A}}\), то нужно \(\dfrac{1}{A}\ge 0\). Так как \(1>0\), это возможно только при \(A>0\) (и одновременно \(A\ne 0\)).
\[ \frac{1}{A}\ge 0 \Longleftrightarrow A>0. \]
а)
Выражение \(2x-5\) — многочлен, ограничений нет: \(x\in\mathbb{R}\).
Для \(\dfrac{1}{2x-5}\) знаменатель не должен обращаться в ноль:
\[ 2x-5\ne 0 \Rightarrow 2x\ne 5 \Rightarrow x\ne \frac{5}{2}. \]
Для \(\sqrt{2x-5}\) подкоренное выражение неотрицательно:
\[ 2x-5\ge 0 \Rightarrow 2x\ge 5 \Rightarrow x\ge \frac{5}{2}. \]
б)
\(2x^2+7x-4\) — многочлен, значит определён при любых \(x\).
Для \(\dfrac{1}{2x^2+7x-4}\) нужно исключить нули знаменателя. Решаем уравнение:
\[ 2x^2+7x-4=0. \]
Находим дискриминант и корни:
\[ D=49+32=81,\quad x=\frac{-7\pm 9}{4}\Rightarrow x=-4,\ \frac{1}{2}. \]
Значит, область определения дроби:
\[ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-4,\frac{1}{2}\right\}. \]
Для \(\sqrt{\dfrac{1}{2x^2+7x-4}}\) нужно:
\[ \frac{1}{2x^2+7x-4}\ge 0. \]
Числитель \(1>0\), поэтому знак дроби совпадает со знаком знаменателя, и ноль получить нельзя, значит требуется строго:
\[ 2x^2+7x-4>0. \]
Разложим на множители:
\[ 2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4). \]
Произведение положительно вне корней \(-4\) и \(\frac{1}{2}\):
\[ (2x-1)(x+4)>0 \Rightarrow x<-4\ \text{или}\ x>\frac{1}{2}. \]
в)
\(x^2+1\) определено при любых \(x\).
Для \(\sqrt{x^2+1}\) нужно \(x^2+1\ge 0\). Но \(x^2\ge 0\), значит \(x^2+1>0\) при любом \(x\), ограничений нет:
\[ x\in\mathbb{R}. \]
Для \(\dfrac{1}{x^2+1}\) нужно \(x^2+1\ne 0\), но \(x^2+1>0\) всегда, значит тоже:
\[ x\in\mathbb{R}. \]
Вернуться к содержанию учебника