Упражнение 861 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 211

\[ x^3-9x^2+mx-15=0 \]

\(x_1, x_2, x_3\) образуют арифметическую прогрессию:

\(x_2 = x_1 + d\),

\(x_3 = x_1 + 2d\)

По теореме Виета:

\[ \begin{cases} x_1+x_2+x_3 = 9,\\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = m,\\ x_1x_2x_3=15 \end{cases} \]

1) \(x_1+x_2+x_3 = 9\)

\(x_1 + x_1 + d + x_1 + 2d = 9\)

\(3x_1 + 3d = 9\)  \(/ : 3\)

\(x_1 + d = 3\)

\(x_2 = 3\)

\(x_1 = 3 - d\)

\(x_3 = 3 + d\)

2) \(x_1x_2x_3 = 15\)

\((3-d)\cdot3\cdot(3+d) = 15\)

\(3(9 - d^2) = 15\)

\(27 - 3d^2 = 15\)

\(-3d^2 = 15 - 27\)

\(-3d2 = -12\)    \(/ : (-3)\)

\(d^2 = 4\)

\(d = \pm2\)

Если \(d = 2\), то

\(x_1 = 3 - 2=1\)

\(x_3 = 3 + 2=5\)

Если \(d = -2\), то

\(x_1 = 3 - (-2)=3+2=5\)

\(x_3 = 3 + (-2)=3-2=1\)

\( 1,\;3,\;5 \) - корни уравнения, образующие арифметическую прогрессию.

3) \( m=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 \)

\[ m=1\cdot3+1\cdot5+3\cdot5 \]

\[ m=3+5+15 \]

\[ m=23 \]

Ответ: \( m=23 \).

Пояснения:

Для кубического уравнения

\[ x^3-9x^2+mx-15=0 \]

пусть его корни равны \(x_1, x_2, x_3\). Тогда по теореме Виета выполняются соотношения:

\[ x_1+x_2+x_3=9, \]

\[ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m, \]

\[ x_1x_2x_3=15. \]

По условию корни образуют арифметическую прогрессию с разностью \(d\), тогда:

\(x_2 = x_1 + d\),

\(x_3 = x_1 + 2d\).

Из первого уравнения находим \(x_2 = 3\) и выражаем:

\(x_1 = 3 - d\),

\(x_3 = 3 + d\).

Подставляя найденные значения в уравнение \(x_1+x_2+x_3 = 9\) получаем \(d = \pm2\). Следовательно,

\(x_1 =5\), \(x_3 =1\) или \(x_1 =1\), \(x_3 =5\).

Чтобы найти коэффициент \(m\), используем формулу суммы попарных произведений корней:

\[ m=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3. \]

Подставляя найденные корни, получаем:

\[ m=23. \]