Упражнение 860 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 211

\[ \begin{cases} x+xy+y=5,\\ y+yz+z=11,\\ z+zx+x=7 \end{cases} \]

Из 1 уравнения вычитаем 2 и из 2 уравнения вычитаем 3:

\[ \begin{cases} x+xy+y=5,\\ (x+xy+y)-(y+yz+z)=5-11,\\ (y+yz+z)-(z+zx+x)=11-7 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x+xy+y=5,\\ x+xy+\cancel y-\cancel y-yz-z=-6,\\ y+yz+\cancel z-\cancel z-zx-x=4 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x(y+1)+y=5,\\ x+xy-yz-z=-6,\\ y+yz-zx-x=4 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x(y+1)=5-y,\\ x(y+1)-z(y+1)=-6,\\ y(z+1)-x(z+1)=4 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x=\dfrac{5-y}{y + 1},\\ (y+1)(x-z)=-6,\\ (z+1)(y-x)=4 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x=\dfrac{5-y}{y + 1},\\[8pt] (y+1)(\dfrac{5-y}{y + 1}-z)=-6,\\[8pt] (z+1)\left(y ^{\color{blue}{\backslash y+1}} -\dfrac{5-y}{y + 1}\right)=4 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x=\dfrac{5-y}{y + 1},\\[8pt] \dfrac{5-y}{y + 1}-z=\dfrac{-6}{y+1},\\[8pt] (z+1)\left(\dfrac{y^2 + y - 5 + y}{y + 1}\right)=4 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x=\dfrac{5-y}{y + 1},\\[8pt] -z=-\dfrac{6}{y+1} - \dfrac{5-y}{y + 1},   /\times(-1)\\[8pt] (z+1)\left(\dfrac{y^2 + 2y - 5}{y + 1}\right)=4 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x=\dfrac{5-y}{y + 1},\\[8pt] z=\dfrac{6}{y+1} + \dfrac{5-y}{y + 1}, \\[8pt] (z+1)\left(\dfrac{y^2 + 2y - 5}{y + 1}\right)=4 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x=\dfrac{5-y}{y + 1},\\[8pt] z=\dfrac{11-y}{y + 1}, \\[8pt] (z+1)\left(\dfrac{y^2 + 2y - 5}{y + 1}\right)=4 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x=\dfrac{5-y}{y + 1},\\[8pt] z=\dfrac{11-y}{y + 1}, \\[8pt] \left(\dfrac{11-y}{y + 1}+1\right)\left(\dfrac{y^2 + 2y - 5}{y + 1}\right)=4 \end{cases} \]

\(\left(\dfrac{11-y}{y + 1}+1 ^{\color{blue}{\backslash y + 1}} \right)\left(\dfrac{y^2 + 2y - 5}{y + 1}\right)=4\)

\(\left(\dfrac{11-\cancel y+\cancel y+1}{y + 1} \right)\left(\dfrac{y^2 + 2y - 5}{y + 1}\right)=4\)

\(\dfrac{12}{y + 1}\cdot\dfrac{y^2 + 2y - 5}{y + 1}=4\)

\(\dfrac{12(y^2 + 2y - 5)}{(y + 1)^2}=4\)     \(/ : 4\)

\(\dfrac{3(y^2 + 2y - 5)}{(y + 1)^2}=1\)     \(/\times(y+1)^2\)

\(3(y^2 + 2y - 5) = (y + 1)^2\)

\(3y^2 + 6y - 15 = y^2 + 2y +1\)

\(3y^2 + 6y - 15 - y^2 - 2y - 1 = 0\)

\(2y^2 + 4y -16 = 0\)   \(/ : 2\)

\(y^2 + 2y -8 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -8\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(= 2^2 - 4\cdot1\cdot(-8)=\)

\(=4 + 32 = 36 > 0\) - два действительных корня.

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{36} = 6\)

\(y_1 = \frac{-2 + 6}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\)

\(y_2 = \frac{-2 - 6}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\)

Если \(y = 2\), то

\( x=\dfrac{5-2}{2 + 1} = \frac33=1\),

\(z=\dfrac{11-2}{2 + 1} = \frac93 = 3\).

Если \(y = -4\), то

\( x=\dfrac{5-(-4)}{-4 + 1} = \frac{9}{-3}=-3\),

\(z=\dfrac{11-(-4)}{-4 + 1} = \frac{15}{-3} = -5\).

Ответ: \((1;2;3),\) \((-3;-4;-5). \)

Пояснения:

Систему решали комбинируя метод сложения (вычитания) и метод подстановки, при этом получили уравнение с одной переменной \(y\). Решив которое, нашли два значения \(y\). Затем для каждого значения \(y\) нашли соответствующие значения \(x\) и \(z\).