Упражнение 857 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 210

\[ \begin{cases} \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=3,\\ xy=8 \end{cases} \]

Пусть \( a=\sqrt[3]{x}, \quad b=\sqrt[3]{y} \):

\[ \begin{cases} a + b=3,\\ (ab)^3=8 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} a + b=3,\\ ab=2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} b=3 - a,\\ a(3-a)=2 \end{cases} \]

\(a(3-a)=2\)

\(3a - a^2 - 2 = 0\)  \(/\times(-1)\)

\(a^2 -3a+2 = 0\)

\(D = (-3)^2 - 4\cdot 1\cdot2 = \)

\(=9 -8 = 1 > 0\) - два действительных корня.

\(\sqrt 1 = 1\)

\(a_1= \frac{3 + 1}{2\cdot1} = \frac42=2\).

\(a_2= \frac{3 - 1}{2\cdot1} = \frac22=1\).

1) Если \(a = 2\), то

\(b = 3 - 2 = 1\).

\( \sqrt[3]{x} = 2  \Rightarrow \)  \(x = 8\).

\(\sqrt[3]{y} = 1  \Rightarrow \)   \(y = 1\)

Если \(a = 1\), то

\(b = 3 - 1 = 2\).

\( \sqrt[3]{x} = 1  \Rightarrow \)  \(x = 1\).

\(\sqrt[3]{y} = 2  \Rightarrow \)   \(y = 8\)

Ответ: \( (1,8),\quad (8,1) \).

Пояснения:

В системе присутствуют кубические корни \(\sqrt[3]{x}\) и \(\sqrt[3]{y}\). Чтобы упростить выражения, вводится новая переменная:

\[ a=\sqrt[3]{x}, \qquad b=\sqrt[3]{y}. \]

Тогда исходные переменные выражаются так:

\[ x=a^3,\qquad y=b^3. \]

Первое уравнение системы сразу принимает простой вид:

\[ a+b=3. \]

Второе уравнение преобразуется следующим образом. Подставляем \(x=a^3\) и \(y=b^3\):

\[ xy=a^3b^3. \]

Используется свойство степеней:

\[ a^3b^3=(ab)^3. \]

Поэтому получаем:

\[ (ab)^3=8. \]

Кубический корень из \(8\) равен \(2\), поэтому:

\[ ab=2. \]

Таким образом система сводится к двум условиям:

\[ a+b=3, \qquad ab=2. \]

Далее решаем систему методом подстановки. Из перового уравнения выражаем переменную \(b\) через переменную \(a\), подставляем во второе уравнение и получаем квадратное уравнение с одной переменной.

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

\[ t^2-(a+b)t+ab=0. \]

Решив систему, находим числа \(a\) и \(b\).

После этого возвращаемся к исходным переменным, возводя значения в третью степень:

\[ x=a^3,\qquad y=b^3. \]

В результате получаем две пары решений системы.