Вернуться к содержанию учебника
Найдите все решения системы
\[ \begin{cases} x^3+x^3y^3+y^3=12,\\ x+xy+y=0. \end{cases} \]
Вспомните:
\( \begin{cases} x^3+x^3y^3+y^3=12,\\ x+xy+y=0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x^3+(xy)^3+y^3=12,\\ xy=-x-y \end{cases} \)
\( \begin{cases} x^3+(-x-y)^3+y^3=12,\\ xy=-x-y \end{cases} \)
\( \begin{cases} x^3-(x+y)^3+y^3=12,\\ xy=-x-y \end{cases} \)
\( \begin{cases} x^3-(x^3+3x^2y +3xy^2+y^3)+y^3=12,\\ xy=-x-y \end{cases} \)
\( \begin{cases} \cancel{x^3}-\cancel{x^3}-3x^2y -3xy^2-\cancel{y^3}+\cancel{y^3}=12,\\ xy=-x-y \end{cases} \)
\( \begin{cases} -3x^2y -3xy^2=12, / : (-3) \\ xy=-x-y \end{cases} \)
\( \begin{cases} x^2y + xy^2=-4, \\ xy=-x-y \end{cases} \)
\( \begin{cases} xy(x + y)=-4, \\ xy=-x-y \end{cases} \)
\( \begin{cases} (-x-y)(x + y)=-4, \\ xy=-x-y \end{cases} \)
\( \begin{cases} -(x+y)(x + y)=-4, /\times(-1) \\ xy=-x-y \end{cases} \)
\( \begin{cases} (x + y)^2=4, \\ xy=-x-y \end{cases} \)
\( \begin{cases} x + y=\pm\sqrt4, \\ xy=-x-y \end{cases} \)
\( \begin{cases} x + y=\pm2, \\ xy=-x-y \end{cases} \)
1) \( \begin{cases} x + y=2, \\ xy=-x-y \end{cases} \)
\( \begin{cases} x + y=2, \\ xy=-(x+y) \end{cases} \)
\( \begin{cases} x + y=2, \\ xy=-2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} y=2 - x, \\ x(2 - x)=-2 \end{cases} \)
\(x(2 - x)=-2 \)
\(2x - x^2 + 2 = 0\) \(/\times(-1)\)
\(x^2 -2x -2 = 0\)
\(a= 1\), \(b = -2\), \(c = -2\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-2) = \)
\(= 4 + 8 = 12 > 0\) - два действительных корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
\(\sqrt {12} = \sqrt {4\cdot 3} = 2\sqrt3\).
\(x_1 = \frac{2 + 2\sqrt3}{2\cdot1} = \frac{\cancel2(1 + \sqrt3)}{\cancel2} = \)
\(=1 + \sqrt3\).
\(x_2 = \frac{2 - 2\sqrt3}{2\cdot1} = \frac{\cancel2(1 - \sqrt3)}{\cancel2} = \)
\(=1 - \sqrt3\).
Если \(x = 1 + \sqrt3\), то
\(y = 2 - (1 + \sqrt3) = 2 - 1 - \sqrt3 =\)
\(= 1 - \sqrt3\).
Если \(x = 1 - \sqrt3\), то
\(y = 2 - (1 - \sqrt3) = 2 - 1 + \sqrt3 =\)
\(= 1 + \sqrt3\).
2) \( \begin{cases} x + y=-2, \\ xy=-x-y \end{cases} \)
\( \begin{cases} y=-2-x, \\ x(-2-x)=-x-(-2 - x) \end{cases} \)
\(x(-2-x)=-x-(-2 - x)\)
\(-2x - x^2 = -x + 2 +x\)
\(-2x - x^2 + x - 2 - x = 0\)
\(-x^2 - 2x - 2 = 0\) \(/\times (-1)\)
\(x^2 + 2x + 2 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 2\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(= 2^2 - 4\cdot1\cdot2 =\)
\(=4 - 8 = -4 < 0\) - не имеет действительных корней.
Ответ: \( (1+\sqrt3;\,1-\sqrt3),\)
\((1-\sqrt3;\,1+\sqrt3) \).
Пояснения:
Систему решаем методом подстановки. Выполнив преобразования, выражаем из одного уравнения какую-либо переменную и подставляем в другое, получая уравнение с одной переменной.
Используем в преобразованиях формулу куб суммы:
\((x+y)^3 = x^3+3x^2y +3xy^2+y^3\).
Квадратное уравнение
\(y = ax^2 + bx + c = 0\)
решаем через дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.
Неполное квадратное уравнение
\(x^2 = a\), где \(a > 0\), имеет корни
\(x_{1,2} = \pm \sqrt a\).
Свойство арифметического квадратного корня:
\(\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b\).
Вернуться к содержанию учебника