Упражнение 850 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 210

\(x^4+ax^2+a-1=0\)

Пусть \(t=x^2\), то

\(t^2+at+a-1=0\)

\(D=a^2-4\cdot1\cdot(a-1)=\)

\(=a^2-4a+4=\)

\(=(a-2)^2 \ge 0\)

1) Если \(D = 0\), то уравнение имеет один действительный корень.

\((a-2)^2= 0\)

\(a - 2 = 0\)

\(a = 2\), тогда

\(t^2+2t+2-1=0\)

\(t^2+2t+1=0\)

\((t + 1)^2 =0\)

\(t + 1 = 0\)

\(t = -1\)

\(x^2 = -1\) - не имеет действительных решений.

2) Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня.

\(\sqrt{(a-2)^2}= |a-2|\)

\(t_1=\dfrac{-a+|a-2|}{2}\)

\(t_2=\dfrac{-a-|a-2|}{2}\)

3) \(x^2=\dfrac{-a+|a-2|}{2}\)

Если \(a - 2 > 0\), то есть \(a > 2\), то

\(x^2=\dfrac{-\cancel a+\cancel a-2}{2}\)

\(x^2= -\frac22\)

\(x^2=-1\) - не имеет действительных корней.

Если \(a - 2 < 0\), то есть \(a > 2\), то

\(x^2=\dfrac{-a-a+2}{2}=\dfrac{-2a+2}{2} =\)

\(=-a + 1\)

\(-a + 1 > 0\)

\(-a > -1\)

\(a < 1\) - не удовлетворяет условию \(a > 2\), поэтому корней нет.

4) \(x^2=\dfrac{-a-|a-2|}{2}\)

Если \(a - 2 > 0\), то есть \(a > 2\), то

\(x^2=\dfrac{-a-a+2}{2}\)

\(x^2=\frac{-2a + 2}{2}\)

\(x^2 = -a + 1\)

\(-a + 1 > 0\)

\(-a > - 1\)

\(a < 1\) - удовлетворяет условию \(a < 2\), тогда уравнение имеет два корня:

\(x =\pm \sqrt{-a + 1}\)

Если \(a - 2 < 0\), то есть \(a > 2\), то

\(x^2=\dfrac{-\cancel a+\cancel a-2}{2}\)

\(x^2 = -1\) - не имеет действительных корней.

Ответ: при \(a<1\).

Пояснения:

1. Биквадратное уравнение.

Уравнение вида

\[x^4+ax^2+b=0\]

решается заменой переменной \(t=x^2\).

2. Решение квадратного уравнения.

После замены получаем обычное квадратное уравнение относительно \(t\). Найдя его корни, возвращаемся к переменной \(x\).

3. Количество корней.

Каждое положительное значение \(t\) даёт два корня \(x=\pm\sqrt{t}\), нулевое — один корень, отрицательное — не даёт действительных корней.

4. Анализ.

Один из корней \(t=-1\) всегда отрицательный, поэтому он не даёт действительных корней. Второй корень \(t=-a+1\) должен быть положительным, чтобы уравнение имело два различных действительных корня.