Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение
\[ (x+3)^4+(x+5)^4=4. \]
Вспомните:
\[ (x+3)^4+(x+5)^4=4 \]
Пусть \( x+4=t \), тогда
\( x+3=t-1 \),
\( x+5=t+1 \).
\[ (t-1)^4+(t+1)^4=4 \]
\[ ((t-1)^2)^2+((t+1)^2)^2=4 \]
\( (t^2-2t+1)^2+(t^2+2t+1)^2=4 \)
\( (t^2-2t)^2 + 2(t^2-2t)+1+(t^2+2t)^2+2(t^2+2t)+1=4 \)
\(t^4 -\cancel{4t^3} + 4t^2 + 2t^2 - \cancel{4t} +1 + t^4 + \cancel{4t^3} + 4t^2 + 2t^2 + \cancel{4t} + 1 = 4\)
\[ 2t^4+12t^2+2=4 \]
\[ 2t^4+12t^2+2-4=0 \]
\( 2t^4+12t^2-2=0 \) \(/ : 2\)
\[ t^4+6t^2-1=0 \]
Пусть \( t^2=u \ge 0\):
\[ u^2+6u-1=0 \]
\(a = 1\), \(b = 6\), \(c = -1\)
\(D = b^2 - 4ac=\)
\( =6^2-4\cdot1\cdot(-1)=\)
\(=36+4=40 > 0 \) - два действительных корня.
\(u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),
\(\sqrt{40} = \sqrt{4\cdot10} =2\sqrt{10}\)
\[ u_{1,2}=\frac{-6\pm2\sqrt{10}}{2\cdot1} =\frac{\cancel2(-3\pm\sqrt{10})}{\cancel2}= \]
\[=-3\pm\sqrt{10} \]
1) Если \( u=-3+\sqrt{10} \), то
\[ t^2=-3+\sqrt{10} \]
\[ t=\pm\sqrt{-3+\sqrt{10}} \]
\[ x+4=\pm\sqrt{-3+\sqrt{10}} \]
\[ x=-4\pm\sqrt{-3+\sqrt{10}} \]
2) Если \( u=-3-\sqrt{10} \), то
\( t^2=-3-\sqrt{10} < 0 \) - действительных решений нет.
Ответ: \( x_1=-4+\sqrt{-3+\sqrt{10}},\)
\(x_2=-4-\sqrt{-3+\sqrt{10}} \).
Пояснения:
Сначала удобно заметить, что выражения \(x+3\) и \(x+5\) симметричны относительно числа \(x+4\). Поэтому вводим новую переменную:
\[ t=x+4. \]
Тогда:
\( x+3=t-1,\)
\(x+5=t+1. \)
После этого исходное уравнение становится более удобным:
\[ (t-1)^4+(t+1)^4=4. \]
Далее раскрываем скобки, учитывая свойства степени и формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений:
\((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\),
\((a^m)^n = a^{mn}\),
\((ab)^m = a^mb^m\).
При сложении выражений \((t-1)^4\) и \((t+1)^4\) члены с нечётными степенями взаимно уничтожаются:
\( -4t^3+4t^3=0,\)
\(-4t+4t=0. \)
Поэтому получается уравнение только с чётными степенями:
\[ 2t^4+12t^2+2=4. \]
После переноса числа \(4\) в левую часть имеем:
\[ 2t^4+12t^2-2=0. \]
Разделим всё уравнение на \(2\):
\[ t^4+6t^2-1=0. \]
Это биквадратное уравнение. Такие уравнения удобно решать заменой:
\[ u=t^2. \]
Тогда получаем квадратное уравнение:
\[ u^2+6u-1=0. \]
Находим дискриминант:
\[ D=b^2-4ac=36+4=40. \]
По формуле корней квадратного уравнения:
\[ u=\frac{-6\pm\sqrt{40}}{2}=-3\pm\sqrt{10}. \]
Теперь нужно помнить важное свойство: так как \(u=t^2\), то \(u\ge0\).
Поэтому значение
\[ u=-3-\sqrt{10} \]
не подходит, потому что оно отрицательное.
Остаётся только:
\[ u=-3+\sqrt{10}. \]
Тогда:
\[ t^2=-3+\sqrt{10}, \]
\[ t=\pm\sqrt{-3+\sqrt{10}}. \]
Возвращаемся к переменной \(x\), так как \(t=x+4\):
\[ x=t-4. \]
Отсюда получаем два решения:
\[ x=-4+\sqrt{-3+\sqrt{10}}, \]
\[ x=-4-\sqrt{-3+\sqrt{10}}. \]
Итак, исходное уравнение имеет два действительных решения.
Вернуться к содержанию учебника