Упражнение 856 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 210

\[ (x^2+x)^4-1=0 \]

\[ (x^2+x)^4=1 \]

\[ x^2+x=\pm1 \]

1) \( x^2+x=1 \)

\[ x^2+x-1=0 \]

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -1\)

\( D=b^2-4ac=\)

\(=1^2-4\cdot1\cdot(-1)=\)

\(=1+4=5 > 0 \) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\)

\[ x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2} \]

2) \( x^2+x=-1 \)

\[ x^2+x+1=0 \]

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = 1\)

\( D=1^2-4\cdot1\cdot1=\)

\(=1-4=-3 < 0\) - нет действительных корней.

Ответ: \( x_1=\frac{-1+\sqrt5}{2},\)

\(x_2=\frac{-1-\sqrt5}{2}. \)

Пояснения:

В уравнении присутствует выражение \(x^2+x\), возведённое в четвёртую степень. Переносим \((-1)\) вправо с противоположным знаком и, учитывая то, что отрицательное число в четной степени всегда положительное число, получаем два уравнения:

\( x^2+x-1=0 \) и \( x^2+x+1=0 \).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.