Упражнение 859 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 211

Пусть \( x\) — числитель, \(y\)— знаменатель, \(y \neq 0\).

\[ \begin{cases} y=x^2-1,\\[6pt] \dfrac{x+2}{y+2}>\dfrac14,\\[8pt] \dfrac{x-3}{y-3}<\dfrac{1}{10} \end{cases} \]

\(y \neq 3\),  \(y \neq -2\)

\[ \begin{cases} y=x^2-1,\\[6pt] \dfrac{x+2}{x^2-1+2}>\dfrac14,\\[8pt] \dfrac{x-3}{x^2-1-3}<\dfrac{1}{10} \end{cases} \]

\[ \begin{cases} y=x^2-1,\\[6pt] \dfrac{x+2}{x^2+1}>\dfrac14,\\[8pt] \dfrac{x-3}{x^2-4}<\dfrac{1}{10} \end{cases} \]

1) \( \frac{x+2}{x^2-1+2}>\frac14 \)

\( \frac{x+2}{x^2+1}>\frac14 \)   \(/\times 4(x^2 + 1)\)

\(x^2 + 1 > 0\) при любом \(x\).

\[ 4(x+2)>x^2+1 \]

\[ 4x+8>x^2+1 \]

\[ 4x+8-x^2-1 > 0 \]

\( -x^2+4x+7 > 0 \)   \(/\times(-1)\)

\[ x^2-4x-7<0 \]

\[ x^2-4x-7=0 \]

\(a = 1\),  \(b = -4\),   \(c = -7\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-7) =\)

\(=16+28=44 > 0 \) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(\sqrt{44} = \sqrt{4\cdot11} = 2\sqrt{11}\)

\[ x_{1,2}=\frac{4\pm2\sqrt{11}}{2}=\frac{\cancel2(2\pm\sqrt{11})}{\cancel2}= \]

\[ x=2\pm\sqrt{11}\]

\(x \in(2-\sqrt{11}; 2+\sqrt{11})\)

2) \( \frac{x-3}{y-3}<\frac{1}{10} \)

\( \frac{x-3}{x^2-1-3}<\frac{1}{10} \)

\[ \frac{x-3}{x^2-4}<\frac{1}{10} \]

\[ \frac{x-3}{x^2-4} ^{\color{blue}{\backslash10}}-\frac{1}{10} ^{\color{blue}{\backslash x^2 - 4}} < 0 \]

\(\frac{10x-30-x^2 + 4}{x^2-4} < 0\)

\(\frac{-x^2 +10x -26}{x^2-4} < 0\)  \(/\times(-1)\)

\(\frac{x^2 -10x + 26}{x^2-4} > 0\)

\(x^2 - 10x + 26 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -10\),  \(c = 26\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-10)^2 - 4\cdot1\cdot26 = \)

\(=100 - 104 = -4 <0\) - действительных корней нет.

\(x^2 -10x + 26 > 0\) - при любом \(x\), так как \(a = 1 > 0\), тогда

\(x^2-4 > 0\)

\(x^2-4 = 0\)

\(x^2=4\)

\(x = \pm2\)

\(x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\)

3)

\(x \in (2; 2+\sqrt{11})\)

\( x=3,4,5 \) - числители дроби.

Если \(x = 3\), то

\( y=3^2-1 = 9 - 1 = 8 \) - знаменатель дроби, тогда дробь \(\frac38\).

Если \(x = 4\), то

\( y=4^2-1 = 16 - 1 = 15 \) - знаменатель дроби, тогда дробь \(\frac{4}{15}\).

Если \(x = 5\), то

\( y=5^2-1 = 25 - 1 = 24 \) - знаменатель дроби, тогда дробь \(\frac{5}{24}\).

Ответ:  \( \frac{3}{8},\quad \frac{4}{15},\quad \frac{5}{24} \).

Пояснения:

Обозначим числитель дроби через \(x\), а знаменатель через \(y\).

По условию знаменатель на 1 меньше квадрата числителя. Это даёт первое уравнение:

\[ y=x^2-1. \]

Далее рассматриваются условия изменения дроби.

Если увеличить числитель и знаменатель на 2, получаем новую дробь:

\[ \frac{x+2}{y+2}. \]

По условию она больше \(\frac14\). После подстановки выражения для \(y\) получается неравенство:

\[ \frac{x+2}{x^2+1}>\frac14. \]

Умножив обе части на \(4(x^2+1)\), получаем квадратное неравенство:

\[ x^2-4x-7<0. \]

Оно выполняется между корнями \(2-\sqrt{11}\) и \(2+\sqrt{11}\).

Так же по условию\( \frac{x-3}{y-3}<\frac{1}{10} \). После подстановки выражения для \(y\) и выполнения преобразований получается неравенство:

\(\frac{x^2 -10x + 26}{x^2-4} > 0\).

Числитель полученного неравенства всегда положителен, тогда, чтобы дробь была положительна, знаменатель также должен быть положителен:

\(x^2-4 > 0\).

Неравенство выполняется при

\(x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\).

Получили два условия:

\(x \in(2-\sqrt{11}; 2+\sqrt{11})\);

\(x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\),

следовательно, все условия задачи будут выполнены при

\(x \in (2; 2+\sqrt{11})\).

Числитель дроби должен быть целым, поэтому рассматриваются целые значения \(x\) из этого промежутка.

После этого подставляем найденные значения в формулу знаменателя \(y=x^2-1\) и проверяем второе условие задачи:

В итоге получаем три дроби:

\[ \frac{3}{8},\quad \frac{4}{15},\quad \frac{5}{24}. \]

Именно они удовлетворяют всем условиям задачи.