Упражнение 862 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 211

\[ \frac{1}{3}\le \frac{a^2-a+1}{a^2+a+1}\le 3 \]

\[ \begin{cases} \dfrac{a^2-a+1}{a^2+a+1} \ge \dfrac{1}{3},   /\times 3(a^2+a+1)\\[8pt] \dfrac{a^2-a+1}{a^2+a+1} \le 3     /\times (a^2+a+1)\end{cases} \]

\(a^2+a+1=0\)

\(D = 1^2 -4\cdot1\cdot1= \)

\(=1 - 4 = - 3 < 0\) - не имеет действительных корней.

\(a^2+a+1>0\) при любом \(a\).

\[ \begin{cases} 3(a^2-a+1) \ge a^2+a+1, \\[8pt] a^2-a+1 \le 3(a^2+a+1) \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 3a^2-3a+3 \ge a^2+a+1, \\[8pt] a^2-a+1 \le 3a^2+3a+3 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 3a^2-3a+3 - a^2-a-1 \ge 0, \\[8pt] a^2-a+1 - 3a^2-3a-3 \le 0 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 2a^2-4a+2 \ge 0,      / : 2\\[8pt] -2a^2-4a-2 \le 0     / : (-2) \end{cases} \]

\[ \begin{cases} a^2-2a+1 \ge 0, \\[8pt] a^2+2a+1 \ge 0 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} (a-1)^2 \ge 0 - \text{верно при любом} \, a,  \\[8pt] (a+1)^2 \ge 0 - \text{верно при любом} \, a \end{cases} \]

Пояснения:

Чтобы доказать двойное неравенство, нужно доказать две его части:

\[ \begin{cases} \dfrac{a^2-a+1}{a^2+a+1} \ge \dfrac{1}{3}, \\[8pt] \dfrac{a^2-a+1}{a^2+a+1} \le 3\end{cases} \]

Так как \(a^2+a+1>0\) при любом \(a\), можем избавиться от знаменателей в каждом неравенстве, при этом знаки неравенства сохранятся.

Затем, выполнив в каждом случае преобразования, в левой части неравенства, получаем квадрат выражения, который всегда принимает неотрицательные значения. То есть каждое неравенство выполняется при любом значении \(a\), значит, и неравенство выполняется при любом \(a\).