Упражнение 858 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 210

\[ \begin{cases} \sqrt[3]{\dfrac{x}{y}}+\sqrt[3]{\dfrac{y}{x}}=4{,}25,\\ x+y=130. \end{cases} \]

Пусть \( t=\sqrt[3]{\frac{x}{y}} \), тогда \( \sqrt[3]{\frac{y}{x}}=\frac{1}{t} \):

\( t+\frac{1}{t}=4{,}25 \)    \(/\times 4t\)

\[ 4t^2+4=17t \]

\[ 4t^2-17t+4=0 \]

\(a = 4\),  \(b = -17\),  \(c = 4\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-17)^2-4\cdot4\cdot4=\)

\(=289-64=225 > 0\) - два действительных корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \( \sqrt{225}=15 \)

\[ t_1=\frac{17+15}{2\cdot4}=\frac{32}{8}=4. \]

\[ t_2=\frac{17-15}{2\cdot4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}. \]

1) Если \(t = 4\), то

\[ \sqrt[3]{\frac{x}{y}}=4 \]

\[ \frac{x}{y}=4^3 \]

\[ \frac{x}{y}=64 \]

\[ x=64y \]

\(x+y=130\)

\[ 64y+y=130 \]

\[ 65y=130 \]

\(y = \frac{130}{65}\)

\[ y=2 \]

\[ x=64\cdot2=128 \]

2) Если \(t = \frac{1}{4}\), то

\[ \sqrt[3]{\frac{x}{y}}=\frac{1}{4} \]

\[ \frac{x}{y}=\left(\frac{1}{4}\right)^3 \]

\[ \frac{x}{y}=\frac{1}{64} \]

\[ y=64x \]

\(x+y=130\)

\[ x+64x=130 \]

\[ 65x=130 \]

\(x = \frac{130}{65}\)

\[ x=2 \]

\[ y=64\cdot2=128 \]

Ответ: \( (128;\,2),\quad (2;\,128) \).

Пояснения:

В этой задаче используется свойство дробей и кубических корней.

Если

\[ t=\sqrt[3]{\frac{x}{y}}, \]

то обратное выражение равно

\[ \sqrt[3]{\frac{y}{x}}=\sqrt[3]{\frac{1}{x/y}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x/y}}=\frac{1}{t}. \]

Это позволяет заменить сложное уравнение с двумя кубическими корнями на более простое:

\[ t+\frac{1}{t}=\frac{17}{4}. \]

Чтобы избавиться от дроби, обе части уравнения умножаются на \(4t\). После этого получается квадратное уравнение:

\[ 4t^2-17t+4=0. \]

Квадратное уравнение

\(at^2 + bt + c = 0\)

решаем через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Дальше нужно вернуться к первоначальной переменной. Так как

\[ t=\sqrt[3]{\frac{x}{y}}, \]

то после возведения в третью степень получаем отношение \(\dfrac{x}{y}\).

В первом случае:

\[ \frac{x}{y}=64, \]

то есть \(x\) в \(64\) раза больше \(y\). Тогда из условия

\[ x+y=130 \]

получаем:

\[ 64y+y=130, \]

откуда \(y=2\), \(x=128\).

Во втором случае:

\[ \frac{x}{y}=\frac{1}{64}, \]

то есть \(y\) в \(64\) раза больше \(x\). Тогда:

\[ x+64x=130, \]

откуда \(x=2\), \(y=128\).

Таким образом, система имеет два решения. Они отличаются перестановкой чисел \(2\) и \(128\).