Вернуться к содержанию учебника
Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} x^3 - y^3 = 19(x - y),\\ x^3 + y^3 = 7(x + y). \end{cases} \]
Вспомните:
\[ \begin{cases} x^3 - y^3 = 19(x - y),\\ x^3 + y^3 = 7(x + y) \end{cases} \]
\[ \begin{cases} (x-y)(x^2+xy+y^2) = 19(x - y),\\ (x+y)(x^2-xy+y^2) = 7(x + y) \end{cases} \]
\[ \begin{cases} (x-y)(x^2+xy+y^2) - 19(x - y)=0,\\ (x+y)(x^2-xy+y^2) - 7(x + y) = 0 \end{cases} \]
\( \begin{cases} (x-y)(x^2+xy+y^2-19) =0,\\ (x+y)(x^2-xy+y^2-7) = 0 \end{cases} \)
1) \( \begin{cases} x-y=0,\\ (x+y)(x^2-xy+y^2-7) = 0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x=y,\\ (x+x)(x^2-x\cdot x+x^2-7) = 0 \end{cases} \)
\[ (x+x)(x^2-x\cdot x+x^2-7)=0 \]
\[ 2x(\cancel {x^2}-\cancel{x^2}+x^2-7)=0 \]
\[ 2x(x^2-7)=0 \]
\( x=0 \) или \( x^2-7=0 \)
\(x^2 = 7\)
\( x=\pm\sqrt7 \)
Если \(x = 0\), то \(y= 0\).
Если \(x =\sqrt7\), то \(y=\sqrt7 \).
Если \( x=-\sqrt7 \), то \( y=-\sqrt7 \).
2) \( \begin{cases} (x-y)(x^2+xy+y^2-19) =0,\\ x+y= 0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} (x-(-x))(x^2+x\cdot(-x)+(-x)^2-19) =0,\\ y= -x \end{cases} \)
\((x-(-x))(x^2+x\cdot(-x)+(-x)^2-19) =0\)
\(2x(\cancel{x^2}-\cancel{x^2} + x^2 - 19) = 0\)
\(2x( x^2 - 19) = 0\)
\(x = 0\) или \(x^2 - 19 = 0\)
\(x^2 = 19\)
\(x = \pm\sqrt{19}\)
Если \(x = 0\), то \(y = 0\).
Если \( x=\sqrt{19} \), то \(y=-\sqrt{19} \).
Если \( x=-\sqrt{19} \), то \( y=\sqrt{19} \).
3) \( \begin{cases} \cancel{(x-y)}(x^2+xy+y^2) = 19\cancel{(x - y)},\\ \cancel{(x+y)}(x^2-xy+y^2) = 7\cancel{(x + y)} \end{cases} \)
\(x \neq y\), \(x \neq -y\)
\( \begin{cases}x^2+xy+y^2 = 19,\\ x^2-xy+y^2 = 7 \end{cases} \) \((-)\)
\((x^2+xy+y^2) - (x^2-xy+y^2) = 19 - 7\)
\(\cancel{x^2}+xy+\cancel{y^2} - \cancel{x^2}+xy-\cancel{y^2} = 12\)
\(2xy = 12\) \(/ : 2\)
\(xy = 6\)
\(y = \frac6x\)
\( \begin{cases}y = \dfrac6x,\\[6pt] x^2-xy+y^2 = 7 \end{cases} \)
\( \begin{cases}y = \dfrac6x,\\[6pt] x^2-x\cdot\dfrac6x+\left(\dfrac6x\right)^2 = 7 \end{cases} \)
\(x^2-6+\dfrac{36}{x^2} = 7\)
\(x^2-6+\dfrac{36}{x^2} - 7 =0 \)
\(x^2 - 13+\dfrac{36}{x^2} =0 \) \(/\times x^2\)
\(x \neq 0\)
\(x^4 -13x^2 + 36 = 0\)
Пусть \(x^2 = t \ge 0\):
\(t^2 -13t + 36 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -13\), \(c = 36\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=(-13)^2 - 4\cdot1\cdot36 = \)
\(=169 - 144 = 25 > 0\) - два действительных корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{25} = 5\).
\(t_1 = \frac{13 + 5}{2\cdot1} = \frac{18}{2} = 9\).
\(t_2 = \frac{13 - 5}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).
Если \(t = 9\), то
\(x^2 = 9\)
\(x = \pm\sqrt9 \)
\(x = \pm3\)
Если \(t = 4\), то
\(x^2 = 4\)
\(x = \pm\sqrt4 \)
\(x = \pm2\)
Если \(x = 3\), то
\(y = \frac63 = 2\).
Если \(x = -3\), то
\(y = -\frac63 = -2\).
Если \(x = 2\), то
\(y = \frac62 = 3\).
Если \(x = -2\), то
\(y = -\frac62 = -3\).
Ответ: \( (0,0),(\sqrt7,\sqrt7),\)
\((-\sqrt7,-\sqrt7),(\sqrt{19},-\sqrt{19}),\)
\((-\sqrt{19},\sqrt{19}),(2,3),(3,2),\)
\((-2,-3),(-3,-2) \).
Пояснения:
Основные формулы:
Разность кубов раскладывается по формуле:
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]
Сумма кубов раскладывается по формуле:
\[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \]
Эти формулы позволяют преобразовать исходные уравнения так, чтобы выделить множители \(x-y\) и \(x+y\). После переноса правых частей мы получаем произведения, равные нулю.
Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому система разбивается на несколько случаев.
Первый случай: \(x-y=0\). Тогда \(x=y\). Подставляя это условие во второе уравнение, мы получаем уравнение \(2x(x^2-7)=0\), из которого находятся решения \(x=0\) и \(x=\pm\sqrt7\).
Второй случай: \(x+y=0\). Тогда \(y=-x\). Подстановка в первое уравнение приводит к уравнению \(x^2-19=0\), откуда получаем \(x=\pm\sqrt{19}\).
Третий случай: оба скобочных выражения равны нулю одновременно:
\[ x^2+xy+y^2-19=0 \]
\[ x^2-xy+y^2-7=0 \]
Вычитая одно уравнение из другого, находим произведение \(xy=6\), откуда \(y = \frac6x\). Подставляя полученное выражение вместо \(y\) в уравнение \(x^2-xy+y^2 = 7\) и после преобразований получаем биквадратное уравнение, которое имеет четыре корня.
Объединяя все найденные случаи, получаем девять решений системы.
Вернуться к содержанию учебника