Упражнение 851 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 210

\(\begin{cases} (x+y)(8-x)=10,\\ (x+y)(y+5)=20 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x+y=\dfrac{10}{8-x},\\[8pt] x+y=\dfrac{20}{y+5} \end{cases} \)

\(\begin{cases} x+y=\dfrac{10}{8-x},\\[8pt] \dfrac{10}{8-x}=\dfrac{20}{y+5} \end{cases} \)

\(x \neq 8\),     \(y \neq -5\)

\(\begin{cases} x+y=\dfrac{10}{8-x},\\[8pt] 10(y+5)=20(8-x) \end{cases} \)

\(\begin{cases} x+y=\dfrac{10}{8-x},\\[8pt] 10y+50=160-20x \end{cases} \)

\(\begin{cases} x+y=\dfrac{10}{8-x},\\[8pt] 10y=160-20x - 50 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x+y=\dfrac{10}{8-x},\\[8pt] 10y=110-20x   / : 10\end{cases} \)

\(\begin{cases} x+y=\dfrac{10}{8-x},\\[8pt] y=11-2x\end{cases} \)

\(\begin{cases} x+(11-2x)=\dfrac{10}{8-x},\\[8pt] y=11-2x\end{cases} \)

\(x+(11-2x)=\dfrac{10}{8-x}\)

\(x + 11 - 2x = \dfrac{10}{8-x}\)

\(11-x = \dfrac{10}{8-x}\)    \(/\times (8-x)\)

\((11-x)(8-x) = 10\)

\(88 - 11x - 8x + x^2 = 10\)

\(x^2 -19x + 88 - 10 = 0\)

\(x^2 -19x + 78 = 0\) 

\(a = 1\),  \(b = -19\),  \(c = 78\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-19)^2 - 4\cdot1\cdot78 =\)

\(=361-312=49 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt {49} = 7\)

\(x_1=\dfrac{19+7}{2\cdot1} = \dfrac{26}{2} = 13\)

\(x_2=\dfrac{19-7}{2\cdot1} = \dfrac{12}{2} = 6\)

Если \(x=13\), то

\(y=11-2\cdot13 = 11-26=-15\)

Если \(x=6\), то

\(y=11-2\cdot6=11-12=-1\)

Ответ: \((13;-15)\),  \((6;-1)\).

Пояснения:

В обеих частях системы встречается выражение \(x+y\). Поэтому при решении систем используем метод подстановки. Сначала, выразив сумму \(x+y\), а затем переменную \(y\), получили квадратное уравнение относительно \(x\). Решив уравнение, нашли \(x\), а затем, вернувшись в подстановку, нашли \(y\).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx +c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).