Упражнение 847 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 210

\(x^2-3ax+a^2=0\)

\(x_1\) и \(x_2\) - корни уравнения.

По теореме обратной теореме Виета:

\(\begin{cases}x_1+x_2=3a,\\ x_1x_2=a^2\end{cases}\)

\(x_1^2+x_2^2=\)

\(=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=\)

\(=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\)

\(=(3a)^2-2a^2=9a^2-2a^2=7a^2\)

\(7a^2=1{,}75\)

\(a^2 = \frac{1,75}{7}\)

\(a^2=0{,}25\)

\(a = \pm \sqrt{0,25}\)

\(a=\pm0{,}5\)

Если \(a=0{,}5\), то

\(x^2-1{,}5x+0{,}25=0\)  \(/\times 4\)

\(4x^2-6x+1=0\) 

\(D=(-6)^2-4\cdot4\cdot1=\)

\(=36-16=20 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2}=\dfrac{6\pm\sqrt{20}}{2\cdot4}=\dfrac{6\pm\sqrt{4\cdot5}}{8}=\)

\(=\dfrac{6\pm2\sqrt{5}}{8}=\dfrac{\cancel2(3\pm\sqrt{5})}{\cancel8_ {\color{blue}{4}}  }=\)

\(=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{4}.\)

Если \(a=-0{,}5\):

\(x^2+1{,}5x+0{,}25=0\) \(/\times 4\)

\(4x^2+6x+1=0\) 

\(D=6^2-4\cdot4\cdot1=\)

\(=36-16=20 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2}=\dfrac{-6\pm\sqrt{20}}{2\cdot4}=\dfrac{-6\pm\sqrt{4\cdot5}}{8}=\)

\(=\dfrac{-6\pm2\sqrt{5}}{8}=\dfrac{\cancel2(-3\pm\sqrt{5})}{\cancel8_ {\color{blue}{4}}  }=\)

\(=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{4}.\)

Ответ: \(x_{1}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}\), \(x_{2}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}\)

или \(x_{1}=\dfrac{-3+\sqrt{5}}{4}\), \(x_{2}=\dfrac{-3-\sqrt{5}}{4}\).

Пояснения:

1. Формулы Виета.

Для квадратного уравнения

\(x^2+px+q=0\):

\[x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.\]

В нашем уравнении

\[x^2-3ax+a^2=0,\]

поэтому:

\[x_1+x_2=3a,\qquad x_1x_2=a^2.\]

2. Сумма квадратов корней.

Используем тождество:

\[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.\]

Подставляем значения из формул Виета:

\[x_1^2+x_2^2=(3a)^2-2a^2=7a^2.\]

3. Нахождение параметра.

По условию \(x_1^2+x_2^2=1{,}75\), значит

\[7a^2=1{,}75.\]

Отсюда \(a^2=0{,}25\), поэтому \(a=\pm0{,}5\).

4. Нахождение корней.

После подстановки найденных значений \(a\) в исходное уравнение получаем соответствующие значения корней.