Упражнение 844 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 209

\(x^8+x^6-4x^4+x^2+1=\)

\(=(x^8-2x^4+1)+(x^6-2x^4+x^2)=\)

\(=(x^4 -1)^2 +x^2(x^4 - 2x^2 + 1) =\)

\( = (x^4 -1)^2 +x^2(x^2 - 1)^2 \)

\((x^4 -1)^2 \ge 0\) при любом \(x\).

\(x^2 \ge 0\) и \( (x^2 - 1)^2 \ge 0\) при любом \(x\), значит \(x^2(x^2 - 1)^2 \ge0 \)

Следовательно, многочлен

\(x^8+x^6-4x^4+x^2+1\)

не принимает отрицательных значений.

Пояснения:

Группируя одночлены, приводим многочлен к сумме квадратов двух выражений. Квадрат любого выражения является неотрицательным числом, значит сумма квадратов двух выражений также является неотрицательным числом, следовательно, рассматриваемый многочлен не принимает отрицательных значений.

Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

Квадрат разности двух выражений:

\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\).