Упражнение 839 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 209

\(x^2-(a-2)x-a-1 = 0\)

\(\begin{cases}x_1+x_2=a-2,\\ x_1x_2=-a-1\end{cases}\)

\(x_1^2+x_2^2 = \)

\(=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2 - 2x_1x_2 =\)

\(=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\)

\(=(a-2)^2-2(-a-1)=\)

\(=a^2-4a+4+2a+2=\)

\(=a^2-2a+6 =\)

\(=a^2-2a+1+5 =\)

\(=(a-1)^2+5\) - наименьшее значение будет при \(a=1\).

Ответ: при \(a = 1\).

Пояснения:

1. Формулы Виета.

Для квадратного уравнения

\(x^2+px+q=0\):

\(\begin{cases}x_1+x_2=-p,\\ x_1x_2=q\end{cases}\)

В нашем случае уравнение имеет вид

\[x^2-(a-2)x-a-1=0.\]

Поэтому:

\(\begin{cases}x_1+x_2=a-2,\\ x_1x_2=-a-1\end{cases}\)

2. Формула суммы квадратов корней.

Используем тождество:

\[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.\]

Подставляя выражения из формул Виета, получаем функцию от параметра \(a\):

\[x_1^2+x_2^2=a^2-2a+6.\]

3. Нахождение минимума.

Это квадратичная функция. Представим её в виде полного квадрата:

\[a^2-2a+6=(a-1)^2+5.\]

Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому наименьшее значение выражение принимает, когда \((a-1)^2=0\), то есть при \(a=1\).