Вернуться к содержанию учебника
Если в многочлен \(ax^3+bx^2+cx+d\) вместо \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) подставлять числа \(-7\), \(4\), \(-3\) и \(6\) в каком угодно порядке, будут получаться многочлены с одной переменной, например: \(-7x^3+4x^2-3x+6\), \(4x^3-7x^2+6x-3\) и т. д. Докажите, что все такие многочлены имеют общий корень.
Вспомните:
Пусть \(P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\),
где числа \(a,b,c,d\) — это \(-7,4,-3,6\) в некотором порядке.
\(P(1)=a\cdot1^3+b\cdot1^2+c\cdot1+d=\)
\(=a+b+c+d\)
\(-7+4-3+6=0\)
\(a+b+c+d=0\)
\(P(1)=0\)
Общий корень всех таких многочленов: \(x=1\).
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
1. Что значит «общий корень».
Если число \(x_0\) является корнем многочлена \(P(x)\), то \(P(x_0)=0\). «Общий корень» для всех многочленов означает одно и то же число \(x_0\), при подстановке которого любой из полученных многочленов обращается в нуль.
2. Почему удобно подставлять \(x=1\).
Если подставить \(x=1\) в выражение \(ax^3+bx^2+cx+d\), получаем:
\[P(1)=a+b+c+d,\]
потому что \(1^3=1^2=1\).
3. Независимость от порядка коэффициентов.
В условии числа \(-7\), \(4\), \(-3\), \(6\) просто переставляются местами между \(a,b,c,d\), но их сумма от перестановки не меняется. Поэтому для любого порядка:
\(a+b+c+d=\)
\(=(-7)+4+(-3)+6=0.\)
4. Вывод.
Раз \(P(1)=0\) для любого такого многочлена, то число \(1\) — общий корень всех многочленов, полученных перестановкой коэффициентов \(-7\), \(4\), \(-3\), \(6\).
Вернуться к содержанию учебника