Упражнение 838 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 209

\(x^4-4x^3-6x^2-3x+9=\)

\(= (x^4 - 6x^2 + 9) - (4x^3 + 3x) =\)

\(=(x^2 - 3)^2 - x(4x^2 + 3)\)

\(x^2 - 3 \ge 0\) при любом \(x\).

\(4x^2 + 3 > 0\) - при любом \(x\).

Если \(x < 0\), то

\(-x > 0\)

\(- x(4x^2 + 3) > 0\)

\((x^2 - 3)^2 - x(4x^2 + 3) > 0\)

Значит, многочлен не имеет отрицательных корней.

Пояснения:

Если число \(x_0\) является корнем многочлена \(P(x)\), то \(P(x_0)=0\).

При доказательстве используем то, что квадрат любого числа является неотрицательным числом и то что \(-x > 0\) при отрицательном \(x\).