Упражнение 836 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 209

\(2x^5+x^4-10x^3-5x^2+8x+4=0\)

\((2x^5+x^4)+(-10x^3-5x^2)+(8x+4)=0\)

\(x^4(2x+1)-5x^2(2x+1)+4(2x+1)=0\)

\((2x+1)(x^4-5x^2+4)=0\)

\(2x+1 = 0\) или \(x^4-5x^2+4 = 0\)

1) \(2x+1=0\)

\(2x = -1\)

\(x=-\dfrac12\)

\(x = -0,5\)

2) \(x^4-5x^2+4=0\)

Пусть \(t=x^2 > 0\), тогда

\(t^2-5t+4=0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = 4\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(= (-5)^2 - 4\cdot1\cdot4 =\)

\(=25 - 16 = 9 > 0\) - два действительных корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt 9 = 3\)

\(t_1 = \frac{5 + 3}{2\cdot1} = \frac82=4\)

\(t_2 = \frac{5 - 3}{2\cdot1} = \frac22=1\)

Если \(t=1\), то

\(x^2=1\)

\(x = \pm\sqrt1\)

\(x=\pm1\)

Если \(t=4\), то

\(x^2=4\)

\(x = \pm\sqrt4\)

\(x=\pm2\)

Ответ: \(x=-2;\;-1;\;-0,5;\;1;\;2.\)

Пояснения:

1. Метод группировки.

Многочлен удобно разложить на множители, сгруппировав слагаемые так, чтобы выделился общий множитель. В данном случае во всех трёх группах появился множитель \((2x+1)\).

2. Замена переменной.

Выражение \(x^4-5x^2+4\) является квадратным относительно \(x^2\) (биквадратное уравнение). Поэтому сделали замену \(t=x^2 > 0\) и решили квадратное уравнение:

\[t^2-5t+4=0.\]

3. Квадратное уравнение

\(at^2 + bt + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

4. Нахождение корней.

После нахождения значений \(t\) вернулись к переменной \(x\) и получили пять корней многочлена.