Вернуться к содержанию учебника
Найдите область определения и множество значений функции:
а) \(f(x)=x^2-10x-17\);
б) \(g(x)=\dfrac{1}{|x|-x}\).
Вспомните:
а) \(f(x)=x^2-10x-17\) - парабола, ветви вверх, так как \(a = 1 > 0\).
Область определения функции:
\(D(f)=(-\infty;+\infty)\).
\(x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-10}{2\cdot1}=5\)
\(f(5)=5^2-10\cdot5 - 17=\)
\(=25-50-17=-42\)
Множество значений функции:
\(E(f)=[-42;+\infty)\).
б) \(g(x)=\dfrac{1}{|x|-x}\)
1) Если \(x\ge0\), то
\(|x|=x\)
\(|x|-x=x-x=0\)
2) Если \(x<0\), то
\(|x|=-x\)
\(|x|-x=-x-x=-2x\)
\(g(x)=\dfrac{1}{-2x}\)
Область определения функции:
\(D(g)=(-\infty;0)\).
Так как \(x<0\), то \(-2x>0\), значит \(g(x)>0\).
Множество значений функции:
\(E(g)=(0;+\infty)\).
Пояснения:
1. Квадратичная функция.
Функция \(f(x)=ax^2+bx+c\) определена при всех \(x\in\mathbb{R}\).
Если \(a>0\), ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы:
\((x_0; f(x_0))\), \(x_0=-\frac{b}{2a}.\)
Значение функции в вершине — наименьшее значение.
2. Функция с модулем в знаменателе.
Нужно рассмотреть случаи по определению модуля:
\(|x|=\begin{cases}x,&x\ge0,\\ -x,&x<0.\end{cases}\)
При \(x\ge0\) знаменатель равен нулю, поэтому эти значения исключаются и область определения функции: \(D(f)=(-\infty;+\infty)\).
При \(x<0\) функция принимает вид \(\dfrac{1}{-2x}\).
3. Множество значений.
Так как при \(x<0\) выражение \(-2x\) положительно, функция принимает только положительные значения. При больших по модулю отрицательных \(x\) значение стремится к нулю, а при отрицательных \(x\) близких к нулю стремится к бесконечности. Поэтому множество значений функции: \((0;+\infty)\).
Вернуться к содержанию учебника