Вернуться к содержанию учебника
Вычислите координаты точек пересечения графиков функций:
а) \(y=2x-11\) и \(y=-5x+3\);
б) \(y=-3x-10\) и \(y=x^2-13x+6\);
в) \(y=-3x^2+x-3\) и \(y=-x^2+x-5\);
г) \(y=4x^2+3x+6\) и \(y=3x^2-3x-3\).
Вспомните:
а) \(y=2x-11\) и \(y=-5x+3\)
1) \(2x-11=-5x+3\)
\(2x+5x=3+11\)
\(7x=14\)
\(x = \frac{14}{7}\)
\(x=2\)
2) \(y=2\cdot2-11=4-11=-7\)
Ответ: графики пересекаются в точке \((2;-7)\).
б) \(y=-3x-10\) и \(y=x^2-13x+6\)
1) \(-3x-10=x^2-13x+6\)
\(-3x-10-x^2+13x-6=0\)
\(-x^2+10x-16=0\) \(/\times(-1)\)
\(x^2-10x+16=0\)
\(a = 1\), \(b = -10\), \(c = 16\)
\(D=b^2 - 4ac=\)
\(=(-10)^2-4\cdot1\cdot16=\)
\(=100-64=36 > 0\) - два действительных корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a} \), \(\sqrt {36} = 6\)
\(x_1=\dfrac{10+6}{2} =\dfrac{16}{2}=8 \)
\(x_2=\dfrac{10-6}{2} =\dfrac{4}{2}=2 \)
2) Если \(x = 8\), то
\(y=-3\cdot8-10=-24-10=-34\)
Если \(x = 2\), то
\(y=-3\cdot2-10=-6-10=-16\)
Ответ: графики пересекаются в точках \((8;-34)\), \((2;-16)\).
в) \(y=-3x^2+x-3\) и
\(y=-x^2+x-5\)
1) \(-3x^2+x-3=-x^2+x-5\)
\(-3x^2+\cancel x-3+x^2-\cancel x+5 = 0\)
\(-2x^2+2 = 0\)
\(-2x^2 = -2\)
\(x^2=\frac{-2}{-2}\)
\(x^2=1\)
\(x = \pm\sqrt1\)
\(x=\pm1\)
2) Если \(x = 1\), то
\(y=-3\cdot1^2+1-3=-5\)
Если \(x = 1\), то
\(y=-3\cdot(-1)^2-1-3=-7\)
Ответ: графики пересекаются в точках \((1;-5)\), \((-1;-7)\).
г) \(y=4x^2+3x+6\) и
\(y=3x^2-3x-3\)
1) \(4x^2+3x+6=3x^2-3x-3\)
\(4x^2+3x+6-3x^2+3x+3=0\)
\(x^2+6x+9=0\)
\((x+3)^2=0\)
\(x + 3 = 0\)
\(x=-3\)
2) \(y=4\cdot9+3\cdot(-3)+6=\)
\(=36-9+6=33\)
Ответ: графики пересекаются в точке \((-3;33)\).
Пояснения:
Общий способ.
Чтобы найти точки пересечения графиков, нужно приравнять правые части уравнений (так как в точке пересечения значения \(y\) совпадают) и решить полученное уравнение относительно \(x\). Затем найденные значения \(x\) подставить в любую из функций для нахождения \(y\).
Вернуться к содержанию учебника