Упражнение 826 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 207
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Постройте график функции:
а) \(y=2x^2-2\);
б) \(y=-x^2+1{,}5\);
в) \(y=x^2-4x\);
г) \(y=1{,}5x^2+6x\);
д) \(y=x^2+x-6\);
е) \(y=3x^2-6x+5\).
В каждом случае укажите наименьшее (или наибольшее) значение функции.
Подсказка
Вспомните:
- Квадратичную функцию, ее график.
- Свойства функции.
- Координаты точки на координатной плоскости.
- Деление и дроби.
- Умножение рациональных чисел.
- Деление рациональных чисел.
- Сложение рациональных чисел.
- Вычитание рациональных чисел.
- Степень с натуральным показателем.
Ответ
а) \(y=2x^2-2\) - парабола, ветви вверх.
Вершина: \((0;-2)\).
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| \(y\) | 6 | 0 | -2 | 0 | 6 |
Наименьшее значение функции:
\(y = -2\).
б) \(y=-x^2+1{,}5\) - парабола ветви вниз.
Вершина: \((0;1{,}5)\).
| \(x\) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \(y\) | -7,5 | -2,5 | 0,5 | 1,5 | 0,5 | 2,5 | -7,5 |
Наибольшее значение функции:
\(y = 1,5\).
в) \(y=x^2-4x\) - парабола, ветви вверх.
\(x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\cdot1}=\dfrac{4}{2}=2\)
\(y_0 = 2^2 - 4\cdot2 = 4 - 8 = -4\)
Вершина: \((2;-4)\).
| \(x\) | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \(y\) | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | 5 |
Наименьшее значение функции:
\(y = -4\).
г) \(y=1{,}5x^2+6x\) - парабола, ветви вверх.
\(x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{6}{2\cdot1{,}5}=-\dfrac{6}{3}=-2\)
\(y_0=1{,}5\cdot(-2)^2+6\cdot(-2)=\)
\(=1{,}5\cdot4-12=6-12=-6\)
Вершина: \((-2;-6)\).
| \(x\) | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 |
| \(y\) | 0 | -4,5 | -6 | -4,5 | 0 |
Наименьшее значение функции:
\(y = -6\).
д) \(y=x^2+x-6\) - парабола, ветви вверх.
\(x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2\cdot1}=-\dfrac12 = -0,5\)
\(y_0=(-0,5)^2 + (-0,5) - 6 = \)
\(=0,25 - 0,5 - 6 = -6,25\).
Вершина: \((-0,5; -6,25)\).
| \(x\) | -3 | -2 | -1 | -0,5 | 0 | 1 | 2 |
| \(y\) | 0 | -4 | -6 | -6,25 | -6 | -4 | 0 |
Наименьшее значение функции:
\(y = -6,25\).
е) \(y=3x^2-6x+5\) - парабола, ветви вверх.
\(x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2\cdot3}=\frac66=1\)
\(y_0=3\cdot1^2-6\cdot1+5=\)
\(=3-6+5=2\)
Вершина: \((1;2)\).
| \(x\) | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \(y\) | 14 | 5 | 2 | 5 | 14 |
Наименьшее значение функции:
\(y =2\).
Пояснения:
1. Как строить график квадратичной функции.
Функция вида \(y=ax^2+bx+c\) задаёт параболу.
Если \(a>0\), ветви направлены вверх и функция имеет наименьшее значение (минимум) в вершине.
Если \(a<0\), ветви направлены вниз и функция имеет наибольшее значение (максимум) в вершине.
2. Вершина параболы.
Координата вершины по \(x\):
\[x_0=-\frac{b}{2a}.\]
Значение функции в вершине:
\[y_0=f(x_0).\]
Именно \(y_0\) является минимумом (если \(a>0\)) или максимумом (если \(a<0\)).
3. Применение к каждому пункту.
В каждом пункте мы нашли \(a\), \(b\), вычислили \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\), затем подставили \(x_0\) в функцию и получили \(y_0\), что соответствует наименьшему или наибольшему значению функции. Для построения достаточно отметить вершину и ещё несколько симметричных точек относительно прямой \(x=x_0\).
Вернуться к содержанию учебника