Вернуться к содержанию учебника
На каком промежутке возрастает и на каком убывает квадратичная функция:
а) \(y=2x^2+10x-7\);
б) \(y=-3x^2+x+5\);
в) \(y=4x^2+2x\);
г) \(y=3x-5x^2\)?
Вспомните:
а) \(y=2x^2+10x-7\) - парабола, ветви направлены вверх, так как
\(a = 2 > 0\).
\(x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{10}{2\cdot2}=-\dfrac{10}{4}=-2,5\)
Функция возрастает при
\(x\in [-2,5; +\infty)\).
Функция убывает при
\(x \in (-\infty; -2,5]\).
б) \(y=-3x^2+x+5\) - парабола, ветви направлены вниз, так как
\(a = -3 < 0\).
\(x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2\cdot(-3)}=\dfrac{1}{6}\)
Функция возрастает при
\(x\in \left(-\infty; \dfrac{1}{6}\right]\).
Функция убывает при
\(x \in \left[\dfrac{1}{6}; +\infty\right)\).
в) \(y=4x^2+2x\) - парабола, ветви направлены вверх, так как \(a = 4 > 0\).
\(x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{2\cdot4}=\)
\(=-\dfrac{2}{8}=-\dfrac{1}{4} = -0,25.\)
Функция возрастает при
\(x\in [-0,25; +\infty)\).
Функция убывает при
\(x \in (-\infty; -0,25]\).
г) \(y=3x-5x^2\) - парабола, ветви направлены вниз, так как \(a = -5 < 0\).
\(y=3x-5x^2=-5x^2+3x\)
\(x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{3}{2\cdot(-5)}=\dfrac{3}{10} = 0,3\)
Функция возрастает при
\(x\in (-\infty; 0,3]\).
Функция убывает при
\(x \in [0,3; +\infty)\).
Пояснения:
1. Общий вид квадратичной функции.
Квадратичная функция имеет вид
\[y=ax^2+bx+c.\]
2. Координата вершины.
Координата вершины по оси \(x\):
\[x_0=-\frac{b}{2a}.\]
3. Правило возрастания и убывания.
Если \(a>0\) (ветви вверх), функция:
— убывает на \((-\infty;x_0]\);
— возрастает на \([x_0;+\infty)\).
Если \(a<0\) (ветви вниз), функция:
— возрастает на \((-\infty;x_0]\);
— убывает на \([x_0;+\infty)\).
4. Применение к каждому пункту.
В каждом случае мы нашли \(x_0\) и определили знак коэффициента \(a\), после чего записали промежутки возрастания и убывания.
Вернуться к содержанию учебника