Упражнение 825 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 207

\(y=x^2-4x-5\) - парабола.

1) \(a = 1 > 0\) - ветви параболы направлены вверх.

2) \(x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2\cdot1} =\frac{4}{2} = 2\).

\(y_0 = 2^2 - 4\cdot2 - 5 = 4 -8 -5 = -9\)

\((2; -9)\) - вершина параболы.

3) Нули функции:

\(y = 0\)

\(x^2-4x-5 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = -5\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)=\)

\(=16+20=36 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{36} = 6\)

\(x_1 = \frac{4 + 6}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).

\(x_2 = \frac{4 - 6}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).

\((5; 0)\),  \((-1; 0)\).

4) \((0; -5)\) - точка пересечения с осью \(y\).

5) Дополнительные точки:

\(y < 0 \) при \(x \in (-1; 5)\).

При \(0 \le x \le 4\):

\(-9 \le y \le -5\).

Пояснения:

Правила и приёмы.

1) Квадратичная функция

\(y=ax^2+bx+c\) задаёт параболу.

Если \(a>0\), ветви направлены вверх.

2) Нули функции находятся из уравнения \(ax^2+bx+c=0\), где

\[D=b^2-4ac,\quad x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.\]

3) Координата вершины параболы:

\[x_0=-\frac{b}{2a},\quad y_0=f(x_0).\]

4) Если ветви вверх, то \(y<0\) между корнями (там график ниже оси \(Ox\)).

Отрицательные значения функции.

Мы нашли корни \(x=-1\) и \(x=5\). Так как парабола направлена вверх, она находится ниже оси \(Ox\) только между корнями, поэтому \(y<0\) при \(x \in (-1; 5)\).

Значения функции на отрезке \([0;4]\).

Вершина у параболы при \(x=2\). Это точка минимума, поэтому на \([0;4]\) наименьшее значение равно \(f(2)=-9\).

На концах отрезка: \(f(0)=-5\) и \(f(4)=-5\). Значит, наибольшее значение на \([0;4]\) равно \(-5\), а множество значений:

\[f(x)\in[-9;\,-5]\text{ при }0\le x\le4.\]