Упражнение 823 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 207

\(y=-x^2+3\)

\(D(f)=(-\infty;+\infty)\).

1) \(y=-1\)

\(-x^2+3=-1\)

\(-x^2=-1-3\)

\(-x^2=-4\)

\(x^2=4\)

\(x=\pm\sqrt 4\)

\(x=\pm2\)

2) \(y=1\)

\(-x^2+3=1\)

\(-x^2=1-3\)

\(-x^2=-2\)

\(x^2=2\)

\(x=\pm\sqrt2\)

3) \(y=5\)

\(-x^2+3=5\)

\(-x^2=5-3\)

\(-x^2=2\)

\(x^2=-2\) - решений нет.

\(y=-x^2+3\) - парабола с вершиной в точке \((0; 3)\), ветви вниз.

\(E(f)=(-\infty;3]\).

Пояснения:

1. Область определения.

Функция \(y=-x^2+3\) — многочлен второй степени. Многочлены определены при всех действительных \(x\), поэтому

\[D(f)=(-\infty;+\infty).\]

2. Вид графика.

Это квадратичная функция вида \(y=ax^2+b\), где \(a=-1<0\). Следовательно, график — парабола, ветви направлены вниз. Вершина находится в точке \((0;3)\).

3. Нахождение значений аргумента.

Чтобы узнать, существует ли такое \(x\), при котором функция принимает заданное значение, приравниваем выражение \(-x^2+3\) к этому числу и решаем уравнение.

— Для \(y=-1\) и \(y=1\) получаются положительные значения \(x^2\), поэтому решения существуют (по два).

— Для \(y=5\) получается \(x^2=-2\), что невозможно для действительных чисел. Значит, такого значения аргумента не существует.

4. Множество значений.

Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы и равно \(3\). Так как ветви направлены вниз, функция принимает все значения, меньшие или равные 3:

\[E(f)=(-\infty;3].\]