Упражнение 824 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 207

\(y=-0{,}5x^2+x+1{,}5\) - парабола.

1) \(a = -0,5 < 0\) - ветви параболы направлены вниз.

2) \(x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2\cdot(-0,5)} =\frac{-1}{-1} = 1\)

\(y_0 = -0,5\cdot1^2 + 1 + 1,5 =\)

\(=-0,5 + 2,5 = 2\).

\((1; 2)\) - вершина параболы.

3) Нули функции:

\(y = 0\)

\(-0{,}5x^2+x+1{,}5 = 0\) \(/\times (-2)\)

\(x^2 - 2x - 3 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -3\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(= (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) =\)

\(= 4 + 12 = 16 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{16} = 4\)

\(x_1 = \frac{2 + 4}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

\(x_2 = \frac{2 - 4}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).

\((3; 0)\),   \((-1; 0)\)

4) \((0; 1,5)\) - точка пересечения с осью \(y\).

5) Дополнительные точки:

\(y = 0\) при \(x = -1\) и \(x = 3\).

\(y>0\) при \(x \in (-1; 3)\)

\(y<0\) при \(x\in (\infty; -1) \cup (3; +\infty)\)

Функция возрастает при \(x \in (-\infty; 1]\).

Функция убывает при \(x \in [1; +\infty )\).

Наибольшее значение: \(y=2\).

Пояснения:

1. Вид функции.

Это квадратичная функция вида \(y=ax^2+bx+c\), где \(a=-0{,}5<0\). Значит, парабола направлена ветвями вниз.

2. Нули функции.

Нули функции находятся из уравнения \(ax^2+bx+c=0\), где

\[D=b^2-4ac,\quad x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.\]

3. Знак функции.

Так как парабола направлена вниз, она положительна между корнями и отрицательна вне этого промежутка.

4. Возрастание и убывание.

Координата вершины вычисляется по формуле

\[x_0=-\frac{b}{2a},\quad y_0=f(x_0).\]

До вершины функция возрастает, после вершины — убывает.

5. Наибольшее значение.

Так как ветви направлены вниз, наибольшее значение достигается в вершине и равно \(2\).