Упражнение 840 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 209

\(y=(x-a)(x-b)-c^2\)

Нули функции:

\((x-a)(x-b)-c^2 = 0\)

\(x^2 - bx - ax + ab - c^2 = 0\)

\(x^2 -(a+b)x + (ab - c^2) = 0\)

\(A = 1\),  \(B = -(a+b)\),  \(C = ab - c^2\)

\(D = B^2 - 4AC = \)

\(=(-(a+b))^2 - 4\cdot1\cdot (ab - c^2)=\)

\(=(a + b)^2 - 4 \cdot (ab - c^2) =\)

\(=a^2 + 2ab + b^2 - 4ab + 4c^2 = \)

\( =(a^2 - 2ab + b^2) + 4c^2 = \)

\(=(a-b)^2 - 4c^2.\)

\((a-b)^2 \ge 0\) при любых \(a\) и \(b\), \(4c^2 \ge 0\) при любом \(c\), тогда

\((a-b)^2 - 4c^2 \ge 0\) при любых \(a\), \(b\), \(c\).

\(D \ge 0\), поэтому график функции \(y=(x-a)(x-b)-c^2\) имеет хотя бы одну общую точку с осью \(x\).

Пояснения:

1. Что значит «имеет общую точку с осью \(Ox\)».

График имеет общую точку с осью \(Ox\), если существует такое \(x_0\), что \(y(x_0)=0\). То есть уравнение

\((x-a)(x-b)-c^2=0\) должно иметь хотя бы одно действительное решение.

2. Приведение к квадратному уравнению.

Раскрываем скобки:

\[y=x^2-(a+b)x+ab-c^2.\]

Это парабола (квадратичная функция) с ветвями вверх.

3. Самый короткий путь: дискриминант.

Нули функции — корни уравнения

\[x^2-(a+b)x+ab-c^2=0.\]

Дискриминант:

\[D=(a-b)^2+4c^2.\]

Так как \((a-b)^2\ge0\) и \(4c^2\ge0\), то

\[D=(a-b)^2+4c^2\ge0.\]

Следовательно, квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень, значит график пересекает ось \(Ox\) хотя бы в одной точке.