Упражнение 849 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 210

\(x^2-2mx+m^2-1=0\)

\(a=1\),  \(b = -2m\),  \(c = m^2-1\)

\(D=b^2-4ac=\)

\(=(-2m)^2-4(m^2-1)=\)

\(=4m^2-4m^2+4=4>0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt 4 = 2\)

\(x_1=\dfrac{2m-2}{2\cdot1}=\dfrac{\cancel2(m-1)}{\cancel2}=m-1\).

\(x_2=\dfrac{2m+2}{2\cdot1}=\dfrac{\cancel2(m+1)}{\cancel2}=m+1\).

\(\begin{cases} -2 < x_1 < 4,\\ -2 < x_2 < 4\end{cases}\)

\(\begin{cases} -2 < m-1 < 4, \\ -2 < m+1 < 4\end{cases}\)

\(\begin{cases} -2 + 1 < m-1+1 < 4+1, \\ -2-1 < m+1-1 < 4-1\end{cases}\)

\(\begin{cases} -1 < m < 5, \\ -3 < m < 3\end{cases}\)

Ответ: \(m \in (-1; 3)\).

Пояснения:

1. Нахождение корней.

Сначала решаем квадратное уравнение. Дискриминант равен \(4\), поэтому корни всегда действительные:

\[x_1=m-1,\qquad x_2=m+1.\]

2. Условие принадлежности интервалу.

По условию оба корня должны лежать внутри интервала \((-2;4)\). Поэтому для каждого корня записываем двойное неравенство и составляем из них систему.

3. Решение неравенств.

Из условий получаем два промежутка для \(m\). Чтобы оба корня одновременно лежали в интервале, нужно взять пересечение этих промежутков.