Вернуться к содержанию учебника
Решите систему уравнений:
а) \(\begin{cases}(x^2+y^2)(x-y)=447,\\ xy(x-y)=210;\end{cases}\)
б) \(\begin{cases}xy(x+y)=30,\\ x^3+y^3=35.\end{cases}\)
Вспомните:
а) \(\begin{cases}(x^2+y^2)(x-y)=447,\\ xy(x-y)=210\end{cases}\)
\(\begin{cases}x-y=\dfrac{447}{x^2+y^2},\\ xy\cdot\dfrac{447}{x^2+y^2}=210\end{cases}\)
\(\begin{cases}x-y=\dfrac{447}{x^2+y^2},\\ 447xy=210(x^2+y^2)\end{cases}\)
\(\begin{cases}x-y=\dfrac{447}{x^2+y^2},\\ 447xy=210x^2+210y^2\end{cases}\)
\(\begin{cases}x-y=\dfrac{447}{x^2+y^2},\\ 210x^2 - 447xy+210y^2 = 0\end{cases}\)
\( 210x^2 - 447xy+210y^2 = 0\) \(/ : y^2\)
\( 210\frac{x^2}{y^2} - 447\frac{x}{y}+210 = 0\)
Пусть \(\frac{x}{y} = t\):
\( 210t^2 - 447t+210 = 0\) \(/ : 3\)
\( 70t^2 - 149t+70 = 0\)
\(a = 70\), \(b = -149\), \(c = 70\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\( = (-149)^2 - 4\cdot70\cdot70 = \)
\( = 22201 - 19600 = 2601 > 0\) - два действительных корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{2601} = 51\)
\(t_{1} = \frac{149 + 51}{2\cdot70}= \frac{200}{140}=\frac{10}{7}\)
\(t_{2} = \frac{149 - 51}{2\cdot70}= \frac{98}{140}=\frac{7}{10}\)
1) Если \(t =\frac{10}{7}\), то
\(\frac{x}{y} = \frac{10}{7}\)
\(10y = 7x\)
\(y = \frac{7}{10}{x}\)
\(y = 0,7x\)
\(\begin{cases}y = 0,7x,\\ xy(x-y)=210\end{cases}\)
\(\begin{cases}y = 0,7x,\\ x\cdot0,7x(x - 0,7x)=210\end{cases}\)
\(x\cdot0,7x(x - 0,7x)=210\)
\(0,7x^2 \cdot 0,3x = 210\)
\(0,21x^3 = 210\)
\(x^3 = \frac{210}{0,21}\)
\(x^3 = \frac{21000}{21}\)
\(x^3 = 1000\)
\(x = 10\)
\(y = 0,7\cdot10 = 7\)
2) Если \(t =\frac{7}{10}\), то
\(\frac{x}{y} = \frac{7}{10}\)
\(10x = 7y\)
\(x = \frac{7}{10}{y}\)
\(x = 0,7y\)
\(\begin{cases}x = 0,7y,\\ xy(x-y)=210\end{cases}\)
\(\begin{cases}x = 0,7y,\\ 0,7y\cdot y(0,7y-y)=210\end{cases}\)
\(0,7y\cdot y(0,7y-y)=210\)
\(0,7y^2 \cdot (-0,3y) = 210\)
\(-0,21y^3 = 210\)
\(y^3 = -\frac{210}{0,21}\)
\(y^3 = -\frac{21000}{21}\)
\(y^3 = -1000\)
\(y = -10\)
\(x = 0,7\cdot(-10) = -7\)
Ответ: \((10;7),\;(-7;-10)\).
б) \(\begin{cases}xy(x+y)=30,\\ x^3+y^3=35\end{cases}\)
\(\begin{cases}xy(x+y)=30,\\ (x+y)(x^2 - xy + y^2)=35\end{cases}\)
\(\begin{cases}xy\cdot\dfrac{35}{x^2 - xy + y^2}=30,\\[8pt] x+y=\dfrac{35}{x^2 - xy + y^2}\end{cases}\)
\(xy\cdot\dfrac{35}{x^2 - xy + y^2}=30\)
\(35xy = 30(x^2 - xy + y^2)\) \(/ : 5\)
\(7xy = 6(x^2 - xy + y^2)\)
\(7xy = 6x^2 -6xy + 6y^2\)
\(6x^2 -6xy + 6y^2 - 7xy = 0\)
\(6x^2 -13xy + 6y^2 = 0\) \(/ : xy\)
\(6\frac{x}{y} -13 + 6\frac{y}{x} = 0\)
Пусть \(\frac{x}{y} = t\), тогда \(\frac{y}{x} = \frac1t\):
\(6t -13 + 6\frac{1}{t} = 0\) \(/\times t\)
\(6t^2 -13t + 6= 0\)
\(a = 6\), \(b = -13\), \(c = 6\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\( = (-13)^2 - 4\cdot6\cdot6 =\)
\( = 169 - 144 = 25 > 0\) - два действительных корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{25} = 5\).
\(t_1 = \frac{13 + 5}{2\cdot6} = \frac{18}{12} = \frac32 \)
\(t_2 = \frac{13 - 5}{2\cdot6} = \frac{8}{12} = \frac23\)
1) Если \(t = \frac32\), то
\(\frac{x}{y} = \frac32\)
\(x = \frac32y\)
\(\begin{cases}x = \dfrac32y,\\ x^3+y^3=35\end{cases}\)
\(\begin{cases}x = \dfrac32y,\\ \left(\dfrac32y\right)^3+y^3=35\end{cases}\)
\(\left(\dfrac32y\right)^3+y^3=35\)
\(\dfrac{27}{8}y^3+y^3=35\)
\(\dfrac{35}{8}y^3=35\) \(/ : 35\)
\(\dfrac{1}{8}y^3=1\) \(/\times8\)
\(y^3 = 8\)
\(y = 2\)
\(x = \frac32\cdot2 = 3\).
2) Если \(t = \frac23\), то
\(\frac{x}{y} = \frac23\)
\(2y = 3x\)
\(y = \frac32x\)
\(\begin{cases}y = \dfrac32x,\\ x^3+y^3=35\end{cases}\)
\(\begin{cases}x = \dfrac32y,\\ x^3+\left(\dfrac32x\right)^3=35\end{cases}\)
\(x^3+\left(\dfrac32x\right)^3=35\)
\(x^3+\dfrac{27}{8}x^3=35\)
\(\dfrac{35}{8}x^3=35\) \(/ : 35\)
\(\dfrac{1}{8}x^3=1\) \(/\times8\)
\(x^3 = 8\)
\(x = 2\)
\(y = \frac32\cdot2 = 3\).
Ответ: \((2;3),\;(3;2)\).
Пояснения:
Каждую систему решаем методом подстановки в несколько этапов. В результате преобразований получаем дробное рациональное уравнение, которое решаем заменой переменной, получая полное квадратное уравнение.
Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx +c = 0\)
решаем через дискриминант
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
Вернуться к содержанию учебника